If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Exemple : Dérivée de ln(<unk> x) en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées

f(x)=ln(√x) est la composée des fonctions ln(x) et √x. On peut donc calculer sa dérivée en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées.

Transcription de la vidéo

bonjour je te présente cette fonction-là la fonction f qui est égale à o logarithme naturel de racine carrée de x alors ce qu'on va faire dans cette vidéo ses dérivés cette fonction donc calculé f primes de x et pour ça la clé c'est de bien comprendre qu'en faite en off à faire une fonction composer et de bien reconnaître de quoi est composé cette fonction alors pour ça je vais le faire doucement et en fait ça revient à faire les étapes de calcul qu'il faut pour partant de x calculé fdx donc je vais prendre un nombre x un nombre réel la première chose qu'on fait c'est calculé sa racine carrée donc en fait je vais mettre le x dans la fonction racine carrée je l'écris comme sa racine carrée de quelque chose c'est la fonction racine carrée qui donc renvoie la racine carrée du nombreux x qu'on a mis dedans donc ce qu'on obtient ici ses racines carrées de x et puis ensuite à partir de cette racine car elle je calcule le logarithme de cette racine carrée 2x donc en fait ça revient cette fois ci à appliquer à racine carrée de x une autre fonction donc en fait je vais mettre racine carrée de x dans une autre fonction qui est la fonction logarithme naturel donc on va calculer le logarithme de ce qu'on met dedans et ça eh bien ça me donne finalement le logarithme le logarithme de racine carrée de x voilà donc là si tu veux j'ai détaillé les calculs qu'on doit faire pour passer de x à f2 x qui est ici et en fait ça fait intervenir deux fonctions il ya une première fonction eu qui est ici et en fait eu 2 x et bien ses racines carrées de x est ce qu'on a dit et ensuite j'ai une deuxième fonction que je peux appeler v est en fait cette fonction là elle consiste à calculer le logarithme n'était rien du nombre qu'on a mis dedans donc la fonction vais en fait c'est v2x c'est logarithme 2x et donc vu comme ça notre fonction f 2 x en fait c'est v de plus de 6 v 2 une ax u 2 x c'est ça et v2 2 x c'est tout ça donc là j'ai écrit f2 x différemment juste pour te faire bien comprendre qu'on a une fonction composer et pour bien définir les fonctions qui composent cette fonction composer et du coup on sait que f primes de x et bien on va appliquer la règle des fonctions composé cv prime v prime à calculer en eut deux ex v primes calculés en u de 6 par an x intentions cv primes n'ont pas de x mais v prime de u2 xx x une prime 2 x donc on a la fonction v prime la fonction du prime je vais les calculs et tout de suite ici u2 x ses racines carrées 2x donc une prime 2 x c'est un sur deux racine carrée de x ça c'est une fonction visuelle qu'il faut savoir dérivés et puis ensuite la dérive et devait donc v prime fait primes de x est bien c'est de la dérivée de la fonction logarithme né paie rien et on sait qu'elle est égale 1 sur x alors ici il ya un petit piège quand même auquel il faut faire vraiment attention je ne sais pas si tu es déjà habitué à ça mais je te le répète à chaque fois dans les vidéos il faut bien faire attention parce qu on avait pris mais ici de u2 x et non pavées primes de x donc ici si je calcule v prime de u2 x v prime de u2 x et bien c'est en fait égal à 1 un surnom pas sur x mais sur u2 x c'est vraiment ça qu'on fait on calcul des primes non pas en x mais en u16 donc on obtient 1 sur u2 x ici c'est un x est donc dans notre cas en fait eu de xc racine carrée 2x donc ici v prime de u2 xc 1 sur racine carrée de x voilà donc ce que j'ai souligné en bleu ici en fait c'est ça donc maintenant je vais pouvoir avancer un petit peu dans les calculs en fait ici ce terme que j'ai souligné en bleu c'est celui là donc c'est un sur racine carrée de x x une prime de x qui est ici donc c'est un sur deux racine carrée 2 x et ici donc j'ai un produit de deux fractions le numérateur c'est un x 1 donc il est égal à 1 et au dénominateur g racine carrée de x x 2 x racine carrée de x ça me donne 2 6 voilà donc f primes de x la dérive et qu'on cherchait à calculer la dérive et de cette fonction là et bien c'est 1 sur 2 x que ça clarifie un petit peu tout ce qu'on fait avec des fonctions composé ici là j'ai fait un diagramme pour comprendre de quoi était composée notre fonction mais tu verras qu avec un peu d'habitude tu pourras faire ça beaucoup plus facilement tout simplement reconnaissant dès le départ que ta fonction est composée puisque on calcule le logarithme d'une racine carrée donc tu reconnaîtras tout de suite qu'elle est composée de la fonction racines et de la fonction logarithme dans cet ordre là puis ensuite il suffit de calculer la dérivée de la fonction logarithme calculée non pas en x mais en cette deuxième fonction qui à l'intérieur racine carrée de x donc ça te donne un sur racine carrée de x puisque la dérivée de la fonction logarithme c1 sur x et quand tu la calcule en racine carrée 2x est donne un sur racine carrée 2x et ensuite tu multiplies par la dérivée de la fonction qui est à l'intérieur voilà donc s'acheter engage à pratiquer avec ça et si tu veux au départ tu peux faire ce diagramme là mais tu verras qu'à la force tu n'auras plus à le faire voilà je fais aussi une toute petite parenthèse sur le calcul des primes de x que j'ai fait ici en fait cette formule là tu peut la retrouver aussi très facilement simplement en remarquant que u2 x en fait racine carrée 2x cx puissance 1/2 c'est donc une fonction puissance et tu peux la dérive est très facilement en utilisant la règle des fonctions puissance ça donne un demi x x puissance moins un demi 1/2 -1 donc moins un demi et donc ça fait bien un sur deux racine carrée de x voilà encore un petit truc pour éviter de temps combrée le cerveau avec des formules que tu peux retrouver très facilement à bientôt