Images et antécédents par la fonction réciproque

alors je pense que tu dois maintenant savoir assez facilement calculer l'image d'un nombre par une fonction donc par exemple si on prend la fonction f qui est défini par ce tableau de valeur tu dois pouvoir assez facilement déterminer l'image de par exemple de -9 donc ça sera f de -9 à partir de ce tableau donc ça veut dire calculés l'image de -9 par la fonction f alors c'est cette image on la lit directement dans le tableau cayla c'est à dire que si on remplace x par -9 donc par cette valeur ci est bien l'image correspondante par la fonction fc ce nombre là qu'on trouve ici donc c'est 5 donc voilà f2 -9 ses cinq jeux probablement aussi une certaine expérience avec des choses un petit peu plus compliqué tu sais par exemple peut être calculé des images par des fonctions composé donc si on prend on peut très bien y écrire quelque chose comme ça f2f de -9 +1 voilà on va essayer de calculer l'image de ce nombre là donc tu vois que là c'est une fonction proposer un alors salaire un petit peu étrange mais si tu y vas papa tu ça devrait pas poser de problème ici en fait tu peux commencer par calcul et f de -9 f de -9 on le lit dans le dans le tableau eve de -9 c5 donc finalement ça on peut le réécrire comme ça cf de 5 + 1 voilà c'est tout simplement remplacé f de -9 par sa valeur qui est 5 est donc finalement en fait ce qu'on doit chercher cf 2 5 + 1 ça fait 6 donc on doit trouver f26 c'est à dire l'image de 6 alors là on se réfère au tableau un f2 6,6 il est ici et f2 cissé - 7 - cette voie là alors maintenant on va faire quelque chose d'un petit peu plus compliqué un petit peu plus nouveau en tout cas c'est essayer d de dévaluer de calculer l'image d'un nombre par la fonction réciproque alors évidemment quand on parle de fonctions réciproque la première chose à faire c'est de regarder c'est effectivement cette fonction réciproque existe hélas elles existent puisque on a une faites une direction entre les valeurs x et les valeurs f 2 x principalement ce qu'il faut vérifier ce que de nombreuses valeurs de x n'ont pas la même image par f1 alors là c'est le cas donc effectivement on va pouvoir parler de fonction de la fonction réciproque est en général cette fonction réciproque on la note comme ça f - 1 alors on dit de temps en temps en fonction inverse c'est un peu maladroit comme expression parce que la fonction inverse traditionnellement c'est la fonction y égal 1 sur x 1m x égal 1 sur x donc je pense que c'est préférable de parler de fonctions réciproque enfin voilà donc là ce qu'on va essayer de faire c'est calculé l'image de nombre par la fonction réciproque alors par exemple on peut essayer de calculer f - 1 de 8 je t'encourage à mettre la vidéo sur poser et réfléchir à cette question là quelle est la valeur de f - 1 de 8 alors je vais faire un petit croquis pour se rafraîchir la mémoire quand on a une fonction est en fait on part d'un ensemble un ensemble de valeurs qu'on appelle l'ensemble de définition ensemble de définition lorsque tu te souviens de sa et les images sont dans un ensemble qu'on appelle l'ensemble images ensemble images voilà donc on prend une valeur de l'ensemble de définition et paref cette valeur là est envoyée dans une autre valeur qui est dans l'ensemble l'image voilà alors ça c'est la fonction f est ce que fait la fonction réciproque c'est que elle part de la valeur images de l'image de ce nombre est elle revient fait le chemin inverse elle revient à la valeur de départ donc l'image par la fonction réciproque d'un certain de ce nombre de ce nombre là c'est l'antécédent de ce nombre là par la fonction f1 voilà c'est exactement le chemin inverse donc en particulier ici on cherche l'image de 8 par la fonction réciproque en fait ça revient à déterminer l'antécédent de 8 par la fonction f c'est exactement ça on fait le chemin inverse donc on se demande quel a été le nombre de l'ensemble de définition dont l'image et huit par la fonction f1 donc ici on regarde dans le tableau on cherche dans la colonne des images par f la valeur 8 qui est ici et sont intéressés dans ses neuf donc finalement f 2 - 1 de 8 ses neuf est en fait tu vois ce qu'on peut faire c'est reconstruire complètement le tableau de valeur de la fonction réciproque f - à partir de ce tableau de valeur la de la fonction f alors je vais le faire ici un sera plus clair comme ça donc ici je mets les valeurs x est ici je mets les valeurs de les images de x par la fonction réciproque donc les valeurs f - 1 2x est en fait il suffit de lire ce tableau de valeur à l'envers d'abord cette première colonne et ensuite cette deuxième l'a donc si je pars de x égale 5 l'image de 5 on le lit ici c'est moins neuf par la fonction réciproque l'image de cette part la fonction réciproque 7 est ici et la valeur correspondante c'est moins cette voie là on suit l'image de 13 par la fonction réciproque c5 c'est ce qu'on lit dans le tableau ici voilà je pense que tu comprends ce que je suis en train de faire l'image de -7 maintenant par cette fonction réciproque et bien c'est 6 l'image de 8 on l'a calculé tout à l'heure l'image de 8 c 9 et enfin l'image de 12 c 11 l'image de 12 c 11 donc en fait là tu vois ce que j'ai fait c'est simplement intervertir les deux colonnes du tableau et ça me donne le tableau de valeur de la fonction réciproque et tu vois que maintenant on peut très facilement calculer retrouvez ce qu'on avait écrit tout à l'heure à l'image de 8 par la fonction réciproque paref -1 et bien c'est neuf c'est exactement ça on part de 8 on cherche la valeur 8 dans le tableau de valeur et on trouve images correspondantes qui est ici qui est égal à 9 voilà alors une fois qu'on a dressé ce tableau de valeur on peut faire des choses un petit peu plus bizarre un petit peu plus complexe par exemple on peut essayer de calculer on va dire on va essayer de calculer salle quelle est l'image par f2f -1 2 7 alors il faut pas se laisser effrayer par ces tous ces symboles qui est qui et qui sont ici en fait on va commencer par ce qui est à l'intérieur de la parenthèse ici f - 1 2 7 et bien tout simplement on le lit dans le tableau de valeur de la fonction réciproque c'est l'image de cette part la fonction réciproque donc c'est moins 7 donc finalement cette partie là f - 1 2 7 et bien c'est moins sept donc je verrai écrire ça comme ça en fait ce que je dois calculé cf de -7 f2 - cette voie là et du coup f de -7 c'est l'image de -7 par la fonction f donc on va la trouver dans ce tableau de valeur la f2 -7 c'est l'image de cette valeur là donc on la lit ici ces sept dont f de -7 c7 est en fait ça c'est complètement cohérent puisque on a composé la fonction f - avec la fonction f donc on est parti d'un point de l'ensemble images ici on m'a trouvé l'image de ce point par la fonction réciproque on est arrivé ici et ensuite on a calculé l'image de ce point par la fonction f donc on revient au point de départ c'est comme si on peut le voir aussi à partir d'ici comparé du nombre 7 on calcule son image par la fonction réciproque on arrive à -7 et en fait à partir de deux là on reprend la fonction est donc on refait le chemin dans l'autre et on revient forcément à au point de départ qui est donc le nombre 7 on va continuer à s'entraîner un petit peu a travaillé avec la fonction f et la fonction réciproque on va par exemple essayer de faire disons ça qu'est ce que veut dire f - 1 2 f - 1 de 13 f - 1 2 f - 1 de 13 alors mail bien sûr posé réfléchi de ton côté comme tout à l'heure ce qu'il faut c'est y aller pas à pas on va commencer par essayer de déterminer ce que ce nombre là donc l'image de 13 par la fonction réciproque f - 1 et ça on le lit dans ce tableau là donc c'est ici très est ici son image ses cinq donc cette partie là en fait ces cinq donc ce qu'on doit calculer finalement cf - 1 f - 1 2 5 f - 1 2 5 voilà f moyen de 5 c'est l'image de 5 par la fonction réciproque et cette image là on la lit encore une fois dans ce tableau là c'est ici 5 est ici et son image par la fonction réciproque c'est moins neuf mois neuf donc f moins de 5 ses moindres voilà donc on a réussi à déterminer ce que ça voulait dire cette chose là et c'est comme tout à l'heure un la fonction f envoie cinq en 13 et la faute donc la fonction réciproque envoie 13 en cinq c'est ce qu'on a fait ici un f moins de 13 c 5 et puis ensuite la fonction réciproque on voit cinq en moins 9 ce qu'on voit ici ou là selon le sens dans lequel on va voilà alors effective ça peut être un peu perturbant on sait pas très bien on se déplace dans un sens puis dans l'autre voilà en fait ce qu'il faut vraiment comprendre c'est que quand on a une fonction on part d'un ensemble de nombres et on va dans un autre ensemble de nombres et quand on parle de la fonction réciproques ont fait le chemin inverse on part de l'ensemble images pour revenir à l'ensemble de définition donc vraiment ce qui est important c'est de comprendre ça et de comprendre que du coup on fait quand on lit le tableau de valeur dans ce sens là on parle de la fonction f mais quand on le lit dans l'autre sens on parle de la fonction réciproque f - 1 voilà bon j'espère que tout ça tu auras aider à clarifier un peu de cette notion de fonctions réciproque