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Établir l'expression de la fonction réciproque

Apprendre à définir la fonction réciproque d’une fonction donnée. Par exemple, trouver la fonction réciproque de f (x) = 3 x + 2.
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f1.
Par définition, f(a)=bf1(b)=a.
Comment déduire de l'expression d'une fonction f, celle de sa fonction réciproque ?

Préambule

La première fonction traitée est la fonction affine définie par f(x)=3x+2.
Une question : comment fait-on pour calculer, par exemple, f1(8) ?
Par définition, si f1(8)=x, alors f(x)=8, donc l'image de 8 par la fonction f1 est le nombre qui a comme image 8 par la fonction f.
f(x)=3x+28=3x+2On a remplacé f(x) par 86=3xOn a soustrait 2 dans les deux membres2=xOn a divisé les deux membres par 3
Donc f(2)=8 et f1(8)=2.

Établir l'expression de la fonction réciproque

On peut généraliser ce que l'on vient de faire pour trouver f1(y) pour toute valeur de y.
Par définition, si f1(y)=x, alors f(x)=y, donc l'image de y par la fonction f1 est le nombre x qui a comme image y par la fonction f.
f(x)=3x+2y=3x+2On a remplacéf(x) par yy2=3xOn a soustrait 2 dans les deux membresy23=xOn a divisé les deux membres par 3
Donc f1(y)=y23.
La variable est une variable muette donc on peut aussi écrire f1(x)=x23.

À vous !

1) Une fonction affine

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction g définie par g(x)=2x5?
g1(x)=

2) Une fonction cube

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction h définie par h(x)=x3+2?
h1(x)=

3) Une fonction racine cubique

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction f définie par f(x)=4×Ax3 ?
f1(x)=

4) Une fonction rationnelle

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction g définie par g(x)=x3x2 ?
g1(x)=

Un dernier exercice

Associer à chacune de ces fonctions le type de sa fonction réciproque.
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