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Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 2
Leçon 1: Les limites : les bases- La notion de limite en un point
- Introduction aux limites
- Conjecturer une limite à partir de données numériques
- Limite d'une fonction en un point où elle n'est pas définie - graphique
- Limite à partir d'un graphique - asymptote
- Donner une valeur approchée d'une limite en un point à partir d'un tableau de valeurs
- Déterminer graphiquement la limite en un point
- Donner une valeur approchée d'une limite en un point à partir d'un tableau de valeurs
Donner une valeur approchée d'une limite en un point à partir d'un tableau de valeurs
Les tableaux de valeurs d'une fonction peuvent permettre d'estimer sa limite en un point, à condition toutefois de bien comprendre comment utiliser de tels tableaux. On apprend à créer des tableaux de valeurs pertinents pour estimer la limite d'une fonction en un point donné et à utiliser un tel tableau pour estimer cette limite.
La limite d'une fonction en un point correspond au comportement de la fonction au voisinage de ce point (vers quelle valeur tend la fonction). Lorsque la fonction n'est pas définie en ce point, les tableaux de valeurs prises par la fonction permettent d'étudier ce comportement. Il est alors parfois possible de donner une valeur approchée plus précise de la limite en ce point qu'avec l'étude de la représentation graphique de la fonction.
Si l'on veut utiliser un tableau de valeurs pour conjecturer une limite en un point, il est important de choisir des valeurs de qui s'approchent de plus en plus de l'abscisse de ce point.
Exemple
On vous demande de donner une valeur approchée de cette limite :
Remarque : La fonction n'est pas définie en car le dénominateur est nul pour . Le fait que ne soit pas définie en ne signifie pas que la limite de la fonction en n'existe pas.
Étape 1 : On calcule la valeur de lorsque se rapproche de par valeurs inférieures (ce sont les valeurs "à gauche" de ). Commençons avec par exemple :
non définie |
Étape 2 : On choisit des valeurs de de plus en plus proches de en restant à gauche de .
non définie |
Les valeurs de sont de plus en plus proches de . Il n'est donc pas pertinent de choisir des valeurs de qui varient d'un pas constant comme car elles ne s'approchent pas assez de .
Étape 3 : De la même manière, on choisit des valeurs de de plus en plus proches de , mais supérieures à (valeurs à droite de ).
(Remarque : Nous avons supprimé la valeur du tableau uniquement pour gagner de la place, et puis cette valeur n'est pas utile pour l'étude de la limite.)
D'après le tableau de valeurs de la fonction créé, on peut dire que lorsque se rapproche de par valeurs inférieures et par valeurs supérieures, les valeurs de se rapprochent de . On peut donc conjectuer que la limite de en est , mais ce n'est qu'une valeur approchée.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Erreurs fréquentes lors de la création de tableaux de valeurs pour conjectuer des limites
Voici les points à vérifier lorsque vous créez des tableaux de valeurs pour donner une valeur approchée d'une limite :
Supposer que la valeur de la limite est la valeur de la fonction : L'exemple ci-dessus illustre le cas où la fonction n'est pas définie en un point mais où la limite de la fonction en ce point existe. Évitez donc de tirer des conclusions hâtives sur la valeur de la limite en vous basant sur la valeur de la fonction.
Calculer les valeurs d'une fonction en des valeurs de éloignées de la valeur en laquelle on veut calculer la limite : Il faut déterminer les valeurs de la fonction pour des valeurs de qui s'approchent de plus en plus de la valeur souhaitée par valeurs inférieures et supérieures pour estimer la limite en ce point.
Évitez de choisir des valeur de qui varient par pas constants comme ou car ces valeurs ne nous rapprochent pas de plus en plus de la valeur où l'on veut déterminer la limite. Il faut continuer à diminuer les pas en utilisant des valeurs de comme , ainsi la distance entre deux valeurs successives de devient de plus en plus petite.
Ne pas approcher des deux côtés : N'oubliez pas d'approcher la valeur de souhaitée à la fois à gauche et à droite. Rappelez-vous que pour que la limite existe, les limites à gauche et à droite doivent être égales. Évitez de tirer des conclusions sur la valeur de la limite après avoir approché la valeur de uniquement par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures.
Croire que "à gauche" signifie "valeurs négatives" : Certains élèves croient à tort qu'ils doivent utiliser des nombres négatifs lorsqu'ils s'approchent à gauche d'une valeur. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons approché à sa gauche en utilisant des valeurs positives inférieures à , comme et . Ne partez pas du principe que vous devez utiliser des valeurs négatives de lorsque vous vous en approchez par la gauche.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Les erreurs courantes lorsqu'on conjecture des limites à partir d'un tableau de valeurs
Confondre la valeur de la limite et la valeur de la fonction : Rappelez-vous que la limite d'une fonction en un point n'est pas forcément la valeur de la fonction en ce point. Par exemple, dans l'exercice 2, mais est approximativement égale à .
Penser que la limite est toujours un nombre entier : Certaines limites peuvent être un nombre entier. D'autres peuvent être un nombre décimal comme dans le premier exercice. Enfin, les valeurs des limites peuvent être approximées, comme dans l'exercice 2 où la limite de la fonction se situe autour de .
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