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Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 2
Leçon 10: Théorème des gendarmesUn autre exercice sur le théorème des gendarmes
. Créé par Sal Khan.
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Si la relation -1≤sin(t)sin(1/t)≤1 semble évident, en revanche je pense qu'il est important d'apporter un peu plus d'éclairages quand à la relation finale.
t étant une variable qui tend vers l'infini (+∞ ou -∞), nous avons: pour t>0, -1*1/t ≤ f(t)≤ 1*1/t(si+∞)
pour t<0, 1*1/t ≤ f(t)≤ -1*1/t(si-∞)(1 vote)
Puisque dans l'équation il y a 1/t avec t-> + l'infini, si t prend des valeurs très grande, 1/t tendrais vers 0. Dans l'équation présenté nous avons sin(t)*sin(1/t)*1/t étant donné que nous avons une multiplication comme facteur vous auriez pu faire sin(t)*sin(1/t)*0 ce qui est égale à 0!(1 vote)- Votre proposition, je pense, est juste. Mais, Le but dans cette vidéo n'est pas simplement de trouver une limite mais de la trouver d'une certaine façon, et le cas échéant en application du théorème des gendarmes.(1 vote)
Transcription de la vidéo
bonjour dans cette vidéo on va utiliser le théorème d'encadrement pour trouver la limite quand et tend vers l'infini le sinus doté fois-ci news de vin sûreté soit un sur t7 cette fonction et les a priori compliquée on va l'appeler f2 t voilà et on va l'utiliser le théorème de l'encadrement alors le théorème de l'encadrement et bien il faut trouver deux fonctions pour encadrer cette fonction-là alors des gens là on va la regarder ensemble un petit peu un gala trois termes qui sont un facteur les uns des autres le premier terme ses sinus de thé donc ce terme là on sait qui va osciller entre -1 et 1 ensuite ce terme-là sinus 2-1 sûreté lui aussi ses fonctions s'il use donc forcément elle oscille entre -1 et elle peut pas valoir plus grand ou plus petit que ça vous savez et ensuite un sûreté bon ba assure t on voit pas ce qu'il ya à dire c'est un sûreté ça dépend de la valeur de t ça peut prendre n'importe quelle valeur a priori si on s'intéresse à toutes les valeurs de t1 sûreté peut valoir n'importe quoi alors du coup est ce qu'on peut trouver une fonction qui est tout le temps plus petit que ça bah oui si on prend le plus petit qu'à de ce prêt facteurs si par exemple ça au plus petit savent au moins un effectivement ça pourra pas valoir moins le moins 1 donc une fonction qui est forcément plus petit c'est moins fois un sûreté moins 1 fois un surpoids elle est forcément plus petit que notre fonctionnaire de thé et une fonction qui est plus grande ou égales c'est celle où ce prêt facteurs vaut 1 c'est le plus grand prêt facteurs possibles de cette multiplication dont 1 x 1 / t1 sûreté on est obligé de le laisser à ce que lui ont plus rien dire sur le voilà on a réussi à encadrer notre fonction d'avs de thé et maintenant comment on va utiliser le théorème des gendarmes eh bien on voit tout de suite que c'est assez facile de calculer la limite quand tu es tend vers l'infini des fonctions qui encadrent notre fonction donc qu'est ce que valent ses limites alors la limite quand tu es temps vers l'infini de -1 sûreté et bien c'est égal à zéro teva prendre des valeurs immense le fait qu'il ya un moins ça va à converger vers vers zéro par les valeurs négatives mais la limite c'est bien 0 et la limite quand et tend vers l'infini de 1 sûreté bien là encore c'est zéro donc puisque les limites des fonctions qui encadrent notre fonction élèves de teva la même chose évalue 0 alors on peut écrire par le théorème des gendarmes ou pérennes d'encadrement la limite quand et tend vers l'infini de fonction avec doté est égal à zéro donc voilà une utilisation simple du théorème d'encadrement pour calculer la limite d'une fonction a priori compliquée