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Terminale option math complémentaires
Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 10
Leçon 3: Droite des moindres carrés- Introduction aux résidus
- Estimation de la droite des moindres carrés
- Démonstration (1re partie) de la méthode des moindres carrés
- Démonstration (2e partie) de la méthode des moindres carrés
- Démonstration (3e partie) de la méthode des moindres carrés
- Démonstration (4e partie) de la méthode des moindres carrés
- Droite de régression et méthode des moindres carrés
- Interpréter le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'ajustement
Introduction aux résidus
Comprendre ce qu'est un résidu.
Soit deux séries statistiques x, start subscript, i, end subscript et y, start subscript, i, end subscript. Nous représenterons ces données dans un repère du plan par des points M, start subscript, i, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, ;, y, start subscript, i, end subscript, right parenthesis afin de constituer un nuage de points. La difficulté alors rencontrée est lorsqu'on veut ajuster une droite à ce nuage de points. Il est en effet difficile de dire avec certitude quelle droite passe le plus près possible des points.
Par exemple, imaginez trois statisticiens, start text, start color #ca337c, A, n, n, a, end color #ca337c, end text, start text, start color #01a995, J, u, l, e, s, end color #01a995, end text et start text, start color #aa87ff, B, a, r, b, a, r, a, end color #aa87ff, end text, travaillant avec le même ensemble de données. Si chacun trace une droite différente ajustant le nuage de points, comment décider quelle droite est le meilleur ajustement ?
Il faudrait disposer d'un indicateur qui apprécie l'ajustement de chaque droite aux observations.
Les résidus à la rescousse !
Le résidu est une mesure de la qualité d'ajustement d'une droite à un couple d'observations.
Soit le nuage de points dont on a tracé une une droite d'ajustement :
On remarque que le point de coordonnées left parenthesis, 2, space, ;, space, 8, right parenthesis est situé à start color #1fab54, 4, end color #1fab54 unités au-dessus de la droite :
Cette distance entre l'ordonnée du point du nuage et celle du point de la droite s'appelle le résidu. Pour les points situés au-dessus de la droite, le résidu est positif, et pour les points situés au-dessous de la droite, le résidu est négatif.
Par exemple, pour le point de coordonnées left parenthesis, 4, space, ;, space, 3, right parenthesis, le résidu est start color #e84d39, minus, 2, end color #e84d39 :
Plus le résidu est proche de 0, plus la droite ajuste au mieux la valeur observée. Ici le résidu est plus petit pour le point de coordonnées left parenthesis, 4, space, ;, space, 3, right parenthesis que pour le point de coordonnées left parenthesis, 2, space, ;, space, 8, right parenthesis.
Déterminer les résidus
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