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Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 10 

Leçon 3: Droite des moindres carrés
Mathématiques
Terminale option math complémentaires
Statistique à deux variables quantitatives
Droite des moindres carrés
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Introduction aux résidus

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Comprendre ce qu'est un résidu. 
Soit deux séries statistiques xi et yi. Nous représenterons ces données dans un repère du plan par des points Mi(xi;yi) afin de constituer un nuage de points. La difficulté alors rencontrée est lorsqu'on veut ajuster une droite à ce nuage de points. Il est en effet difficile de dire avec certitude quelle droite passe le plus près possible des points.
Par exemple, imaginez trois statisticiens, Anna, Jules et Barbara, travaillant avec le même ensemble de données. Si chacun trace une droite différente ajustant le nuage de points, comment décider quelle droite est le meilleur ajustement ?
Un nuage de points dans un plan repéré. Les points croissent diagonalement et sont dispérsés entre (1 demi, 1 demi) et (10, 7). Trois droites de couleurs différentes sont tracées. La droite rouge passe par le point (1, 3) et le point (10 et demi, 5 et demi). La droite verte passe par le point (1, 2) et le point (10 , 6). La droite bleue passe par le point (0, 1 demi) et le point (10 et demi, 7 et demi). Toutes les valeurs sont estimées.
Il faudrait disposer d'un indicateur qui apprécie l'ajustement de chaque droite aux observations.

Les résidus à la rescousse !

Le résidu est une mesure de la qualité d'ajustement d'une droite à un couple d'observations.
Soit le nuage de points dont on a tracé une une droite d'ajustement :
Un nuage de points est représenté dans un plan repéré. Les points sont à (1, 2), (2, 8), (4, 3), (6, 7), et (8, 8). Une droite est croissante en diagonale du point (0, 3) au point (10, 8). Toutes les valeurs sont estimées.
On remarque que le point de coordonnées (2 ; 8) est situé à 4 unités au-dessus de la droite :
Un nuage de points est représenté dans un plan repéré. Les points sont à (1, 2), (2, 8), (4, 3), (6, 7), et (8, 8). Une droite croît en diagonale depuis le point (0, 3) jusqu'au point (10, 8). Une flèche verte étiquetée 4 s'étend verticalement de la droite jusqu'au point (2, 8). Toutes les valeurs sont estimées.
Cette distance entre l'ordonnée du point du nuage et celle du point de la droite s'appelle le résidu. Pour les points situés au-dessus de la droite, le résidu est positif, et pour les points situés au-dessous de la droite, le résidu est négatif.
Par exemple, pour le point de coordonnées (4 ; 3), le résidu est −2 :
Un nuage de points est représenté dans un plan repéré. Les points sont à (1, 2), (2, 8), (4, 3), (6, 7), et (8, 8). Une droite est croissante en diagonale du point (0, 3) au point (10, 8). Une flèche verte étiquetée 4 s'étend verticalement de la droite jusqu'au point (2, 8). Toutes les valeurs sont estimées. Une flèche rouge étiquetée moins deux s'étend verticalement de la droite jusqu'au point (4, 3). Toutes les valeurs sont estimées.
Plus le résidu est proche de 0, plus la droite ajuste au mieux la valeur observée. Ici le résidu est plus petit pour le point de coordonnées (4 ; 3) que pour le point de coordonnées (2 ; 8).

Déterminer les résidus

Dans le graphique précédent, pour le point de coordonnées (6 ; 7), quel est le résidu ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Dans le graphique précédent, pour le point de coordonnées (8 ; 8), quel est le résidu ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Dans le graphique précédent, pour le point de coordonnées (1 ; 2), quel est le résidu ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

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