Introduction aux résidus

Soit deux séries statistiques $x_i$x, start subscript, i, end subscript et $y_i$y, start subscript, i, end subscript. Nous représenterons ces données dans un repère du plan par des points $M_i(x_i ;y_i)$M, start subscript, i, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, ;, y, start subscript, i, end subscript, right parenthesis afin de constituer un nuage de points. La difficulté alors rencontrée est lorsqu'on veut ajuster une droite à ce nuage de points. Il est en effet difficile de dire avec certitude quelle droite passe le plus près possible des points.

Par exemple, imaginez trois statisticiens, $\text{\maroonD{Anna}}$start text, start color #ca337c, A, n, n, a, end color #ca337c, end text, $\text{\tealD{Jules}}$start text, start color #01a995, J, u, l, e, s, end color #01a995, end text et $\text{\purpleC{Barbara}}$start text, start color #aa87ff, B, a, r, b, a, r, a, end color #aa87ff, end text, travaillant avec le même ensemble de données. Si chacun trace une droite différente ajustant le nuage de points, comment décider quelle droite est le meilleur ajustement ?

Il faudrait disposer d'un indicateur qui apprécie l'ajustement de chaque droite aux observations.

Le résidu est une mesure de la qualité d'ajustement d'une droite à un couple d'observations.

Soit le nuage de points dont on a tracé une une droite d'ajustement :

On remarque que le point de coordonnées $(2 ~; ~8)$left parenthesis, 2, space, ;, space, 8, right parenthesis est situé à $\greenD4$start color #1fab54, 4, end color #1fab54 unités au-dessus de la droite :

Cette distance entre l'ordonnée du point du nuage et celle du point de la droite s'appelle le résidu. Pour les points situés au-dessus de la droite, le résidu est positif, et pour les points situés au-dessous de la droite, le résidu est négatif.

Par exemple, pour le point de coordonnées $(4 ~; ~3)$left parenthesis, 4, space, ;, space, 3, right parenthesis, le résidu est $\redD{-2}$start color #e84d39, minus, 2, end color #e84d39 :

Plus le résidu est proche de $0$0, plus la droite ajuste au mieux la valeur observée. Ici le résidu est plus petit pour le point de coordonnées $(4 ~; ~3)$left parenthesis, 4, space, ;, space, 3, right parenthesis que pour le point de coordonnées $(2 ~; ~8)$left parenthesis, 2, space, ;, space, 8, right parenthesis.