Trouver les racines d'un polynôme

alors on nous donne un polynôme ici p 2 x qui est égal à x puissance 5 + 9 x au cube - 2 x au cube - 18 x et on nous demande de déterminer ses racines réel et racines réel de ce prix nomme et puis ensuite on nous demande de déterminer combien la courbe représentative de paix à deux points d'intersection avec l'axé des abscisses alors pour commencer évidemment il faut savoir ce qu'on entend par racine et en particulier par racine réel alors en général ce qu'on appelle une racine d'un polynôme de racines d'un paulino et c'est une valeur x de la variable qui annule ce polynôme c'est à dire tel que p 2 x est égal à zéro voilà une racine d'apolline hommes c'est une solution de l'équation p 2 x égal 0 alors ici on parle de racine réel ça c'est parce qu un polynôme peut avoir des racines qui ne sont pas réels donc des races des valeurs de x qui annule le polynôme et x n'étant pas un nombre réel en fait dans ce cas là ce sont des racines complexe et ça on n'en parlera plus tard voilà alors la deuxième question combien la courbe représentatif de at-elle de points d'intersection avec l'axé des abscisses en fait elle est complètement lié à cette première question parce qu'en fait chaque racines réel et l'abscisse d'un point d'intersection de la courbe représentative du polynôme avec l'axé des abscisses donc une fois qu'on aura trouvé toutes les racines réel du polynôme bien on aura tous les points de l'intersection de la courbe avec l'axé des abscisses alors pourquoi je dis ça c'est assez facile à voir voilà le voir rapidement je vais faire un petit un petit croquis voilà ici lax dx l'origine et la kz2 y et puis je vais dessiner une courbe qui donc va représenter être la courbe représentative d'un polynôme je vais une courbe au hasard donc c'est pas ce polynôme là que j'ai représenté mais tu vas voir que ça change pas grand chose parce qu'en fait ce qu'on peut remarquer avec ce dessin c'est qu'on a ici trois points d'intersection avec l'axé des abscisses il ya ce point là ce point là et ce point là en fait donc ce sont des points d'eau redonné 0 évidemment et les apps six de ses pointes et bien ce sont exactement les racines réels de ceux polynôme voilà en fait à chaque racines réel correspond un point d'intersection de la comp représentative avec l'axé des abscisses alors je vais enlever ça et on va faire l'exercice donc la première chose à faire c'est de résoudre cette équation la paix 2 x égal 0 alors pour résoudre une équation de ce genre ou paix est un polynôme ce qu'il faut arriver à faire c'est à factoriser complètement le polynôme alors c'est ce qu'on va essayer de faire je vais réécrire l'équation tels que complète l'x puissance 5 + 9 x au cube - 2 x au cube - 18x égal zéro alors là tu as peut-être marqué en même temps que moi ou peut-être que tu l'avais remarqué avant que on pourrait simplifier cette cette expression là puisque 9,6 au cube - 2 x au cube pourrait très bien le remplacer par 7x au cube mais bon c'est suffisamment inhabituel ce genre de choses dans un énoncé de mathématiques pour que ça te met la puce à l'oreille et que tu te disent qu'au fond c'est peut-être un indice le l'énoncé donne peut-être le polynôme de cette sous cette forme là pour que la factorisation soit plus simple alors je vais là je vais le laisser comme ça pour l'instant et je vais factoriser ce que je peux factoriser donc ici je vois que tous les termes contiennent un x donc je vais mettre x factor alors je mets x factor et du coup ici me reste x puissance 4 plus ensuite 9x au carré - 2 x au carré aussi et puis moi 18 voilà tout ça ça doit être égale à zéro donc là j'ai déjà une première factorisation c'est déjà pas mal maintenant je vais utiliser ces deux termes là hein celui ci est celui là dans chacun de ces termes je vais voir ce que je peux factoriser alors je vais écrire ça comme ça j'ai xc parenthèse bleus je vais les remplacer par des crochets puisque ici à l'intérieur je vais avoir d'autres parenthèses et puis cette somme là en verre je vais la ré écrire mais je vais factoriser ici je peux factoriser x au carré donc x au carré facteur de il va donc me restait x au carré +9 voilà ensuite je vais m'occuper de ces termes là et ici je vais factoriser qu'est ce que je peux factoriser je peux factoriser -2 donc je vais mettre moins deux ans facteur et il va me rester x au carré +9 voilà et donc le ferment les crochets et ça ça doit être égale à zéro effectivement là on voit que j'ai bien fait de pas faire cette simplification au départ puisque l'âge est un facteur commun x au carré +9 que je retrouve dans les deux termes à l'intérieur du crochet donc maintenant je vais factoriser ce qui est à l'intérieur des crochets alors je réécris x voilà j'ouvre le crochet et puis à l'intérieur de ses crochets donc je vais mettre x au carré + 9 x au carré plus neuf ans facteur et il va me rester alors ici dans ce terme là il me reste x au carré et puis là il me reste moins deux voilà donc je faire parenthèse et crochets et ça ça doit être égale à zéro d'ailleurs maintenant je peux enlever les crocs cher puisque ils servent plus à rien donc je vais les enlever je vais écrire ça comme ça donc j'ai x x x au carré + 9 x x au carré - de égal à zéro alors est-ce que je peux encore factoriser quelque chose x j'ai rien à faire c'est complètement factoriser xo carey +9 mais je peux pas le factoriser plus puisque justement on est dans les nombreux réel donc x au carré +9 ne peut pas se factoriser par contre ici gx carré - 2 et ça je peux reconnaître une différence de deux carrés donc je vais pouvoir le factoriser alors je continue elissa me donne xx x xo carré +9 auquel je ne peux rien changer et puis ensuite j'ai cette partie là x au carré - 2 que je vais écrire comme ça c'est x - racines de deux facteurs de x plus racine de 2 et donc ce produit là doit être égale à zéro voilà alors maintenant je vais pouvoir résoudre cette équation puisqu'elle est complètement factoriser et les solutions de cette équation sont les valeurs qui annule chacun des facteurs alors je peux donc avoir une première solution qui est x égal zéro ça on pouvait le voir tout de suite puisque ici il n'ya pas de termes constants le deuxième facteur cx au carré +9 alors ça est-ce que ça peut être égal à zéro ça voudrait dire que x au carré est égal à moins 9 et puisqu'on est dans les nombreux réel et effectivement ça c'est impossible donc impossible impossible donc ce facteur là ne me donne aucune racine ensuite j'ai ce facteur là x - racines de 2x moins racines de 2 et donc il faut trouver une valeur qui annule ce facteur là alors est-ce que ça c'est possible oui puisque il suffit que x soit égal à racine de 2 donc là j'ai une deuxième solution deuxième racines j'en avais une première ici hein et puis ensuite il faut que je m'occupe du dernier facteur qui est donc x plus racine de deux égal zéro et ça c'est possible si x est égal à - racines de 2 donc je trouve finalement une troisième racines donc là j'ai répondu à la première question les racines réel de pesos 0 - racines de 2 et racines de 2 donc je vais les écrire ici dans l'ordre des racines c'est donc moins rapide de 2 qui est la plus petite 0 et puis racines de 2 qui est la plus grande voilà alors d'après ce qu'on a dit tout à l'heure ça nous permet de répondre immédiatement à la deuxième question il ya trois points d'intersection 3 prendre l'intersection de la courbe représentatif de paix avec la caisse des abscisses alors justement j'ai tracé cette courbe la voilà ici donc les tracés avec un logiciel est ici on peut placer facilement les racines les racines réel du polynôme la plus petite c'est moi racines de 2 qui est donc ici c'est cette valeur là ici cx égales - racines de deux la cx égal 0 bien sûr et puis ici on a la troisième racines réel la plus grande qui est racines de 2 alors une petite remarque pour terminer c'est que ici on a un polynôme de degré 5 1 p 2 x et galp x puissance 5 plus quelque chose donc un peu l'unof de degré 5 alors ce qu'on peut imaginer au maximum c'est qu'il y ait cinq racines et en général il ya effectivement 5 racines mais certaines ne sont pas forcément réelles elles peuvent être complexes c'est ce que je disais tout à l'heure mais ce qui est intéressant c'est que en fait les racines complexe ne viennent jamais seules elles ont toujours à deux il ya toujours une racine et sa conjuguer ce qui veut dire que finalement quand on a un polynôme de degré 5 et bien en fait il peut y avoir soit 5 racines réel soit trois racines réel donc deux complexes ou bien une seule racines réel et donc quatre complexes donc pour un polynôme 2° cinq le nombre de racine réel possible c'est forcément une de ces trois valeurs je crois que c'est assez intéressant de comprendre et de se souvenir de ça quand on doit résoudre des équations polynomiale comme celle là