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Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 6

Leçon 3: Opérations sur les matrices

Les matrices identité

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.

Par définition si une matrice a

m

lignes et

n

colonnes, elle est dite de dimension

m \times n

(dans cet ordre). La matrice

A

2

lignes et

3

colonnes, donc elle est de dimension

2 \times 3

. On dit aussi que c'est une matrice

2 \times 3

Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.

Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.

Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Les matrices identité

La matrice identité de dimension

n \times n

, notée

I_{n}

, est une matrice carrée de

n

lignes et

n

colonnes. Tous les éléments de sa diagonale sont égaux à

1

et tous les autres éléments sont égaux à

0

Par exemple :

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] I_{4} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

Le rôle de la matrice identité dans l'ensemble des matrices est le même que celui de

1

dans l'ensemble des réels.

Question : Que se passe-t-il si on multiplie une matrice par la matrice identité de même dimension ?

Effectuer ces produits :

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

A = [\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array}]

I_{2} \times A =

I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

A = [\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array}]

A \times I_{3} =

Pour calculer le produit

A \times I_{3}

, on associe un vecteur à chacune des lignes de la matrice

A

et à chacune des colonnes de la matrice

I_{3}

La matrice produit

A \times I_{3}

est égale à :

$\begin{aligned} A \times I_{3} & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{3}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 \times 1 + 5 \times 0 + 4 \times 0 & 1 \times 0 + 5 \times 1 + 4 \times 0 & 1 \times 0 + 5 \times 0 + 4 \times 1 \\ 3 \times 1 + 2 \times 0 + 2 \times 0 & 3 \times 0 + 2 \times 1 + 2 \times 0 & 3 \times 0 + 2 \times 0 + 2 \times 1 \\ 4 \times 1 + 1 \times 0 + 3 \times 0 & 4 \times 0 + 1 \times 1 + 3 \times 0 & 4 \times 0 + 1 \times 0 + 3 \times 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Conclusion

Quelle que soit la matrice

A

, si on la multiplie, à droite ou à gauche par la matrice identité de même dimension, on obtient la matrice

A

elle-même. Quelle que soit la matrice

A

A \times I = I \times A = A

L'élément neutre pour la multiplication dans l'ensemble des matrices $n \times n$ ‍ et la matrice inverse d'un matrice

Élément neutre pour la multiplication

La matrice

I_{n}

joue le même rôle dans l'ensembles des matrices

n \times n

que le nombre

1

dans l'ensemble des réels.

Le nombre $1$ ‍	La matrice $I_{n}$ ‍
Quel que soit $a$ ‍, le produit de $1$ ‍ par $a$ ‍ est égal à $a$ ‍. Quel que soit $a$ ‍, $a \times 1 = 1 \times a = a$ ‍	Quelle que soit la matrice $n \times n$ ‍, $A$ ‍, le produit de la matrice $I_{n}$ ‍ par la matrice $A$ ‍ est égal à $A$ ‍. Quelle que soit $A$ ‍, $A \times I_{n} = I_{n} \times A = A$ ‍

Matrice inverse

Par définition, l'inverse du nombre réel

a

est le nombre dont le produit par

a

est égal à

1

. Par exemple,

\frac{1}{3} \times 3 = 1

3 \times \frac{1}{3} = 1

, donc

\frac{1}{3}

3

sont inverses l'un de l'autre.

Tout réel différent de

0

a un inverse. Est-ce que de même toute matrice non nulle a une matrice inverse ?

Soient les matrices

A

B

$A = [\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}]$ ‍ ‍ $B = [\begin{array}{rr} - 4 & 3 \\ 3 & - 2 \end{array}]$ ‍

On calcule que

A B = I_{2}

B A = I_{2}

Pour calculer le produit

A B

, on associe un vecteur à chacune des lignes de la matrice

A

et à chacune des colonnes de la matrice

B

La matrice produit

A B

est égale à :

$\begin{aligned} A B & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 2 \times (- 4) + 3 \times 3 & 2 \times 3 + 3 \times (- 2) \\ 3 \times (- 4) + 4 \times 3 & 3 \times 3 + 4 \times (- 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Pour calculer le produit

B A

, on associe un vecteur à chacune des lignes de la matrice

B

et à chacune des colonnes de la matrice

A

La matrice produit

B A

est égale à :

$\begin{aligned} B A & = [\begin{array}{rr} \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{2}} \\ \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} (- 4) \times 2 + 3 \times 3 & - 4 \times 3 + 3 \times 4 \\ 3 \times 2 + (- 2) \times 3 & 3 \times 3 + (- 2) \times 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Donc les matrices

A

B

sont inverses l'une de l'autre.

Mais nous verrons qu'il n'est pas vrai que toute matrice différente de la matrice nulle a une matrice inverse.

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bensonkouassi02
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de bensonkouassi02 «Détermination d'une matri ... »
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Élément neutre pour la multiplication

Matrice inverse

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