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Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 6 

Leçon 3: Opérations sur les matrices

La matrice nulle

.

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.
Par définition si une matrice a m lignes et n colonnes, elle est dite de dimension m×n (dans cet ordre). La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, donc elle est de dimension 2×3. On dit aussi que c'est une matrice 2×3.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ? ainsi qu'aux leçons Additionner ou soustraire deux matrices et Multiplier une matrice par un scalaire.

Définition de la matrice nulle

Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont égaux à 0. Voici deux exemples :
La matrice nulle de dimension 3×3 : O3×3=[000000000]
La matrice nulle de dimension 2×4 : O2×4=[00000000]
Dans toute la suite on désignera la matrice nulle par O. Si nécessaire, on peut mettre sa dimension en indice.
Le rôle de la matrice nulle dans l'ensemble des matrices est le même que celui de 0 dans l'ensemble des réels.

Question : Que se passe-t-il si on additionne une matrice et la matrice nulle ?

Pour additionner deux matrices, on additionne terme à terme les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.
Effectuer ces additions :
1)
[4513]+[0000]=

2)
[000000]+[234817]=

Conclusion

Quelle que soit la matrice A de dimension m×n, la somme de la matrice nulle de dimension m×n et de la matrice A est la matrice A elle-même. Autrement dit, quelle que soit la matrice A, A+O=A et O+A=A.
Lorsque la dimension de la matrice nulle n'est pas précisée, il est sous-entendu que sa dimension est celle de la matrice A.

Une question

Si B=[256818] et si B+O=B, quelle est la dimension de la matrice nulle O ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
×
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Question : Que se passe-t-il si on additionne une matrice et son opposée ?

L'opposée de la matrice A est la matrice dont les éléments sont les opposés des éléments de la matrice A. Elle est notée A.
Par exemple, si A=[4162], alors A=[4162].
A vous d'effectuer ces additions :
3)
[4387]+[4387]=

4)
[425132]+[425132]=

Conclusion

Si on additionne une matrice de dimension m×n et son opposée, on obtient la matrice nulle de dimension m×n. Quelle que soit la matrice A, A+(A)=O and A+A=O.
Il est vrai aussi que quelle que soit A, AA=O, car soustraire une matrice, c'est ajouter son opposée.

Question : Que se passe-t-il si on multiplie une matrice par le scalaire 0 ?

Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chacun des éléments de la matrice par ce scalaire.
A vous d'effectuer ces multiplications par le scalaire 0 :
5)
0×[5491]=

6)
0×[2410715342]=

Conclusion

Le produit d'une matrice m×n par le scalaire 0 est la matrice nulle de dimension m×n.
Quelle que soit la matrice A, 0A=O.

Les rôles comparés de la matrice nulle et du réel 0

On vient de voir que leurs rôles sont analogues.
Un petit tableau pour synthétiser les propriétés comparées de 0 et de la matrice nulle :
Le nombre zéroLa matrice nulle
Quel que soit a, la somme de a et de zéro est égale à a : a+0=0+a=aQuelle que soit la matrice A, la somme de A et de la matrice nulle est égale à A : A+O=O+A=A
Quel que soit a, la somme de a et de son opposé est égale à zéro :a+(a)=(a)+a=0Quelle que soit la matrice A, la somme de A et de son opposée est égale à la matrice nulle : A+(A)=(A)+A=O
Quel que soit a, le produit de a par zéro est égal à zéro : a×0=0×a=0.Quelle que soit la matrice A, le produit de A par zéro est égal à la matrice nulle : 0×A=O.
Gardez bien en tête ces analogies !

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