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Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 6 

Leçon 3: Opérations sur les matrices

Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice

.

Opérations sur les lignes d'une matrice

Voici les trois opérations élémentaires que l'on peut faire sur les lignes d'une matrice :
OpérationExemple
Echanger deux lignes[253346][346253]  (On a échangé la ligne 1 et la ligne 2.)
Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 0[253346][3×23×53×3346] (On a multiplié les éléments de la ligne 1 par 3.)
Additionner deux lignes[253346][2533+24+56+3]  (On a remplacé la ligne 2 par la somme des lignes 1 et 2.)
Le but est de faciliter la résolution du système auquel est associé la matrice. Avant d'étudier comment, un peu d'entraînement à ces opérations.

Échanger deux lignes

Exemple

Appliquer l'opération L1L2 à cette matrice.
[483245712]

Réponse

L1L2 signifie échanger la ligne 1 et la ligne 2.
La matrice [483245712] devient [245483712].
Ce qui peut être noté :
[483245712]L1L2[245483712]
La ligne 1 est remplacée par la ligne 2 et la ligne 2 par la ligne 1. La ligne 3 est inchangée.
Exercice 1
Appliquer l'opération L2L3 à cette matrice.
[7296411312]

Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 0

Exemple

Appliquer l'opération 3L2L2 à cette matrice.
[661230459]

Réponse

3L2L2 signifie remplacer la 2e ligne par son produit par 3.
[661230459] devient [6613×23×33×0459]=[661690459]
Ceci peut être noté :
[661230459]3R2R2[661690459]
Chacun des éléments de la deuxième ligne est multiplié par 3. Les deux autres lignes sont inchangées.
Exercice 3
Appliquer l'opération 2L1L1 à cette matrice.
[26517480]

Additionner deux lignes

Exemple

Appliquer l'opération L1+L2L2 à cette matrice.
[234081]

Réponse

L1+L2L2 signifie remplacer la 2e ligne par la somme de la 1ère ligne et de la 2e ligne.
[234081] devient [2342+03+84+1]=[2342115]
Ceci peut être noté :
[234081]R1+R2R2[2342115]
La ligne 2 est remplacée par la somme de la ligne 2 et de la ligne 1.
Exercice 5
Appliquer l'opération L1+L3L3 à cette matrice.
[162350721]

Un dernier exercice
Appliquer l'opération L1+2L3L1 à cette matrice.
[573214886]

Les systèmes d'équations et les opérations sur les lignes de la matrice associée

Dans la matrice augmentée associée à un système linéaire, le nombre de lignes est égal au nombre d'équations du système. Les premières colonnes sont constituées des coefficients des variables et la dernière colonne est constituée des constantes qui sont à droite du signe =.
Par exemple, voici un système et la matrice augmentée qui lui est associée :
SystèmeMatrice
1x+3y=52x+5y=6[135256]
Si on applique une opération sur les lignes à la matrice augmentée d'un système linéaire, on obtient une nouvelle matrice augmentée qui est celle d'un système équivalent au système initial. On va le justifier.

Échanger deux lignes

Systèmes équivalentsMatrices augmentées
1x+3y=52x+5y=6[135256]
2x+5y=61x+3y=5[256135]
Les deux systèmes sont équivalents car l'ensemble des solutions d'un système n'est pas modifié si on modifie l'ordre des équations. Ce résultat est général, donc on peut échanger deux lignes dans la matrice augmentée d'un système.

Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 0

Si on multiplie les deux membres d'une équation par un réel non nul, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale.
En multipliant les deux membres d'une équation d'un système par un réel non nul, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale, donc le nouveau système obtenu est aussi équivalent au système initial.
Systèmes équivalentsMatrices augmentées
1x+3y=52x+5y=6[135256]
2x+(6)y=102x+()5y=6[2610256]
Donc on peut multiplier par un réel non nul l'une des lignes de la matrice augmentée d'un système.

Additionner deux lignes

Si on ajoute des quantités égales aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale.
Si A=B et C=D, alors A+C=B+D.
Quand on résout un système de deux équations par addition, on remplace l'une des équations par la somme des deux. Par exemple, pour résoudre le système 2x6y=102x+5y=6, on additionne les deux équations membre à membre, pour obtenir l'équation y=4.
Le système obtenu en remplaçant l'une des équations par cette nouvelle équation est équivalent au système initial.
Systèmes équivalentsMatrices augmentées
2x6y=102x+5y=6[2610256]
2x+(6)y=100x+(1)y=4[2610014]
Donc on peut additionner deux lignes de la matrice augmentée d'un système.
Un dernier exercice
On a appliqué une suite d'opérations sur les lignes de la matrice [2210233]. Les résultats de chacune de ces opérations sont donnés dans le tableau.
Replacer les opérations appliquées dans le bon ordre.
Matrice initiale : [2210233]
1

La matrice donnée est celle du système 2x+2y=102x3y=3, et la matrice obtenue est celle du système x=18y=13 où le couple solution est en évidence.
On a résolu le système en appliquant des opérations aux lignes de la matrice !

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