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Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 6 

Leçon 3: Opérations sur les matrices

Multiplier deux matrices

La multiplication est-elle toujours définie dans l'ensemble des matrices ? Comment calculer le produit de deux matrices.

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.
Par exemple, la matrice A a 2 lignes et 3 colonnes. a2,1 est l'élément de la 2ème ligne et de la 1ère colonne  : a2,1=5.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ? et à la leçon Multiplier une matrice par un scalaire.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur le produit de deux matrices. Par exemple, le produit :
[1724]×[3352]

Multiplication d'une matrice par un scalaire et multiplication de deux matrices

Quand on travaille dans l'ensemble des matrices, pour éviter toute confusion on utilise le terme scalaire pour désigner un nombre réel.
2×[5231]=[2×52×22×32×1]=[10462]
Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chacun des éléments de la matrice par le scalaire.
La multiplication de deux matrices est une opération complètement différente. Elle est moins simple mais plus intéressante.
D'abord un rappel sur le produit scalaire de deux vecteurs.

Produit scalaire

Un vecteur du plan, de dimension 2 a deux composantes, par exemple, le couple (2,5). Un vecteur de l'espace, de dimension 3, a trois composantes, par exemple le triplet (3,1,8).
On peut imaginer un vecteur d'un espace de dimension n. Ses composantes constituent un n-uplet, c'est-à-dire un ensemble ordonné de n nombres.
Par définition le produit scalaire de deux vecteurs d'un espace à n dimensions de composantes (x1,x2,xn) et (x1,x2,xn) est la somme x1x1+x2x2++xnxn.
Par exemple, dans le plan le produit scalaire des vecteurs de composantes, ou coordonnées, (x,y) et (x,y) est xx+yy. Le symbole du produit scalaire est le point :
(2,5)(3,1)=2×3+5×1=6+5=11
Voici l'exemple du produit scalaire de deux vecteurs de l'espace : a(3,1,8) et b(4,2,3). Leur produit scalaire ab est :
ab=(3,1,8)(4,2,3)=3×4+1×2+8×3=12+2+24=38
Le produit scalaire est une opération qui à deux vecteurs fait correspondre un réel.

À vous !

1) c=(4,3) et d=(3,5).
cd=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

2) m(2,5,2) et n(1,8,3).
mn=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Matrices et n-uplets

Chacune des lignes et chacune des colonnes d'une matrice est un ensemble ordonné de nombres donc un n-uplet. Donc à chacune des lignes et à chacune des colonnes, on peut associer le vecteur dont les coordonnées sont ce n-uplet.
c1c2r1r2[6423]
Dans cette matrice, à la ligne 1 on associe le vecteur l1(6,2) et à la ligne 2 le vecteur l2(4,3).
De même, à la colonne 1 on associe le vecteur c1(6,4) et à la colonne 2 le vecteur c2(2,3).

À vous !

c1c2c3r1r2r3[162331574]
3) Quel est le triplet de coordonnées du vecteur c2 associé à la colonne 2 ?
Choisissez une seule réponse :

Multiplier deux matrices

Voici sur un exemple comment on définit la multiplication dans l'ensemble des matrices.
Soit A=[1724] et B=[3352]. On calcule la matrice produit C=AB.
Par définition :
b1b2a1a2[1274]×[3532]=[a1b1a2b1a1b2a2b2]ABC
Chacun des éléments de la matrice C est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la matrice A et du vecteur associé à l'une des colonnes de la matrice B. Plus précisément ci,j est le produit scalaire du vecteur ai et du vecteur bj.
c1,2 est le produit scalaire des vecteurs a1 et b2 :
[1274]×[3532]=[a1b1a2b117a2b2]
On obtient :
C=[38172614]

À vous !

4) C=[2152] et D=[1436].
F=C×D.
a) f2,1 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

b) Calculer la matrice F.
F=

5) X=[4123] et Y=[2854].
Calculer Z=X×Y.
Z=

6) M=[283541] et N=[416324].
P=M×N.
a) p1,2 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

b) Calculer la matrice P.
P=

Un commentaire

Je pense que vous serez d'accord avec moi que jusqu'ici les opérations dans l'ensemble des matrices que nous avions étudiées -l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire- allaient de soi.
Mais ce n'est pas la cas pour la multiplication ! Les éléments de la matrice produit ne sont pas les produits des éléments situés au même emplacement dans chacune des matrices.
Vous vous demandez peut-être pourquoi ! Les choses s'éclaireront et vous comprendrez mieux quand vous découvrirez les leçons :

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