Associativité de la multiplication matricielle

alors dans cette vidéo on va s'intéresser à la propriété d'associate ivité de la multiplication matricielle donc qu'est-ce que celle associative it et ben je vais tout de suite te donner un exemple très simple on va prendre une addition par exemple un plus trop +2 et donc ça c'est égal 1-1 j'ai 3 + 2 est donc là où je veux en venir c'est que si je mets des nantaises si je fais un + 3 + 2 eh bien j'ai exactement le même résultat que 1 + 3 + 2 entre parenthèses donc quel que soit l'ordre défini par les parenthèses dans les termes et bien la loi est dit associative si on obtient le même résultat donc par exemple pour les matrices pas si je prends trois matrices à foix des fois c est ce que à x b fois c'est avec des parenthèses sur les deux premiers termes est-ce que ça c'est égal donc je mets un point d'interrogation à a fois entre parenthèses b fois c'est donc c'est cette question d' associative it et comme on dit de la multiplication matricielle convainc abordé en fait dans cette vidéo alors on va simplement prendre un exemple pour regarder ce qui se passe dans le cas de matrice de taille 2 2 alors voici une première matrice avec ses composants a b c d donc je prends des lettres un pur pour rester le plus général possible que je vais multiplier par sept secondes matrice e f g h et enfin que je multiplie par une troisième matrix y j cain est elle donc bien sûr yj ce sont des lettres un ici c'est pas des nombres complexes et eux c'est aussi une lettre c'est pas exponentielle 2 1 alors on va faire un petit copier coller pour partir de deux fois la même situation initiale donc comme je le dis on a trois matrices de dimensions de 2 est ce qu'on va regarder c est ce que le résultat du produit de ces trois matrices et le même lorsque je commence par effectuer le produit qui est entre parenthèses à gauche c'est à dire matrice rouge formatrice bleu et dans le deuxième cas lorsque je commence par effectuer le produit qui est entre parenthèses à droite c'est à dire matrice bleus fois matrice verte on a déjà vu dans les vidéos précédentes que la multiplication matricielle n'est pas commutative c'est à dire qu'on peut pas inverser l'ordre des termes dans la multiplication est donc là on va voir qu'en fait elle est cependant associative c'est à dire que ces deux opérations donne le même résultat en fait quand on a des matrices carré de n'importe quelle dimension et bien le produit de matrix carré et associatif c'est à dire que si j'effectue le produit de ces deux premières 26 d'abord avant multiplient dans la verte ou de la bleue et de la verte avant de multiplier par un rouge et bien j'obtiendrai le même résultat donc là je les encourage à faire une petite pause sur la vidéo essayez par toi même et après tu pourras vérifier en relançant la vidéo donc c'est parti on y va on commence par la multiplication de la matrice rouge et de la matrice pleut je vais écrire le résultat ici c'est très simple multiplication d'une matrice de deux par une matrice de deux la multiplication et bien sûr définit donc premiers éléments ça va être la ligne a b x la colonne e j où ça donne un e + b g deuxième élément première ligne fois deuxième colonne ça va donner un f + b h ensuite deuxième ligne première colonne c'est le résultat du produit de céder la ligne c d et la ligne et le colonnes que j'ai pardon donc ça fait c e + dg et enfin dernier élément c'est la deuxième ligne de la première matrice fois la deuxième colonne de la seconde matrice donc cf plus des haches et donc bien sûr il faut encore multiplier cette matrice qui le résultat du produit des deux premières par la troisième qui est donc toujours y j k et l ok donc on continue avec cette 2e multiplication la matrice grise par la matrice verte donc on va avoir un résultat assez volumineux il ya plein de lettres donc c'est parti le premier élément haut à gauche est le résultat du produit de la première ligne avec de la première matrice avec la première colonne de la seconde donc c'est parti à eux x y ou plus b j'ai froid y plus à f fois qu'un plus bh3 qu'un donc ça c'est seulement le premier élément en haut à gauche de notre matrice résultats ensuite cet élément ici c'est toujours la première ligne de la première matrice est cette fois multiplié par la seconde colonne de la seconde batterie donc ça nous donne un e j auquel on ajoute b g j + 1 f elles auquel on ajoute bhl hockey ensuite l'élément en bas à gauche dans la matrice résultat c'est la seconde ligne de la première matrice fois la première colonne de la seconde matrix donc ça fait c e i plus d g i + c f 15 plus d h 15 et enfin dernier élément de cette matrice toujours la seconde ligne de la première mais cette fois multiplié par la seconde colonne de la seconde matrix donc ça fait c e j auxquels j'ajoute des g j + cfl et enfin plus dhl donc voilà notre matrice résulte un qui est le produit de la matrice rouge par la matrice bleus multiplier ensuite par la matrice verte alors maintenant on effectue le deuxième calcule le produit de la matrice bleus par la matrice verte et ensuite par la matrice rouge pour voir si au final on va obtenir le même résultat donc alors un peu de place voilà donc ces partis matrice bleus fois matrice verte donc on a eu f x ica nous donnent eux i + f k deuxième élément ef fois j elle s'adonne eugies plus f elle ensuite ici on ag h x y cas ça nous donne g é plus h 15 et enfin dernier élément g h x j elle s'adonne g j + hl7 matrix en gris c'est le résultat du produit de la bleue par la verte et il reste encore à multiplier toujours bien sûr par la première matrice a b c et d donc c'est parti on se lance dans la multiplication alors ça nous donne donc j'écris la matrice ici aussi premier élément ça va être abaissée fois cette première colonne donc ça donne 1 e i plus un f 15 + b g i + b h ensuite deuxième et les eaux deuxième élément en haut à droite c'est donc le résultat de la première ligne de la première matrice x la seconde colonne de la seconde matrix donc on y va c'est parti ça fait 1 e j + à f m + b g j + bhl hockey troisième élément donc c'est le résultat du produit de la deuxième ligne première matrice c'est à dire c'est des fois la première colonne de la seconde matrix donc c'est parti ça fait c e i + c f car plus des jets e-plus des h 15 hockey et enfin dernier élément c'est le résultat du produit de ces départs la deuxième colonne de la deuxième batterie ce que ça fait c'est eux j + cfl plus d g j + dhl donc voilà notre seconde matrix qui est le résultat du produit d'abord de la bleue par la verte et ensuite de la rouge par le résultat du produit de ces deux premières et donc la question maintenant c est ce que ces deux matrices résultats sont bien identique et moi on va regarder élément par élément donc je reprends à gauche ici donc premièrement j'ai à eux y alors à oeuilly je le retrouve ici ah oui je suit ensuite gbg y que je retrouve ici bg y as f k que je retrouve ici à f k et enfin et enfin bhk que je retrouve ici ph cas on regarde le deuxième élément de la première colonne ses 8 c'est oui je leur trouve bien ici des génisses d'égérie je leur trouve bien ici cf qu'un cf kdh kdh cas donc on a nos deux éléments de la première colonne qui sont déjà bien identique on regarde ce qui se passe ensuite dans la deuxième colonne donc ici j'ai agi que je retrouve ici à augy b g j que je trouve pjj af l1 est faible bhl bhl enfin vérifications sur le dernier élément en bas à droite cej c'est au jdg jdj cfl cfl dhl dhl donc pour conclure eh bien on a bien une associative it et du produit matricielle c'est à dire que si je multiplie d'abord rouge par bleu puis ensuite vers et bien j'obtiens le même résultat que multiplier d'abord bleus par verre puis ensuite rouge donc attention c'est bien différent de la commune tati vite et on garde bien le même ordre dans la multiplication matricielle la matrice rouge est toujours un gauche-là bluy toujours au milieu et la verte est toujours à droite mais par contre effectivement si on choisit d'effectuer d'abord le produit à droite puis ensuite par la maîtrise de gauche ou d'abord le produit des deux matrices à gauche puis ensuite par la matrice à droite et bien obtient bien le même résultat