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Transposée de la matrice produit de deux matrices

. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

donc ici j'ai défini une matrice acquis à m li enn colonnes et de la même manière j'ai défini une matrice b qui a cette fois n lignée ème colonne et j'ai aussi écrit leur transposer et bien juste en dessous et maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va définir de nouvelles matrix on va définir la matrice c'est qui va être le produit de la matrice à avec la matrice b donc ce produit là on peut effectivement le faire puisque la matrice aaen colonnes et la matrice b à n les banques c'est un produit possible et donc cette matrice sais quelle dimension basel à voir eh bien elle va avoir m ligne et elle va avoir ème colloque donc c'est une matrice ème fois m on va définir aussi une deuxième batterie ce qui va être la matrice des qui va être le produit de la transposer 2b avec la transposer de à elle a aussi le produit matricielle est possible puisque eh bien on a aussi une colonne et n ligne ici et donc la dimension de ma matrice des va être aussi 2ème fois et donc on va s'intéresser à quoi on va s'intéresser au coefficient de ces deux matrices là en d'autre terme j'aimerais bien trouver une expression pour le coefficient de l'aïs emeline et de la j aime ligne 2 c'est donc ce que je sais c'est que c'est eh bien c'est le produit de a par b donc c'est à dire que chacun des coefficients ici ici ce coefficient et j ça va être le produit de quoi ça va être le produit le produit scalaires en fait de lahij m ligne 2 a donc cette ligne là avec est bien là j m ligne 2 b donc 7 jm colonnes de b donc cette colonne ici donc si on fait et bien le produit de ces deux vecteurs qu'est ce qu'on a on va avoir à y 1 x b 1 j plus à y 2 x b 2 j + et cetera et cetera plus aindien01580 pour un coefficient données de ces maintenant regardons ce qui se passe pour des donc cette fois ci des je vais m'intéresser et non pas au coefficient d'eiji mais au coefficient j y tu vas comprendre pourquoi une fois qu'on l'aura défini alors ça c'est quoi et bien vu que des est le produit de la transposer 2b avec la transposer de à j c'est là j aime ligne ici est bien de b donc c'est cette ligne là et c'est là y aime ici colonnes de as de la transposer de donc si je fais le produit est bien de ces deux vecteurs là je me retrouvais avec b 1 j-2 à y un plus b 2 j-2 à y deux plus et cetera et cetera plus bnj deux as i l est là ce que tu peut remarquer c'est qu'en fait eh bien on a quelque chose d'intéressant là entre cj et d'egis et que seïf y est égal à des j y si tu regardes bien ici on ajuste inverser les coefficients au lieu d'avoir ici à est un facteur de b1 jg ici benji facteur 2 à 1 mais sinon eh bien on a bien l'égalité ici donc ça veut dire que et bien les coefficients ici sont égaux et ça ce sera vrai pour tous les saisies et des galas donc d j ai donc ça qu'est ce que ça veut dire et bien ça c'est tout simplement la définition de la transposer d'une matrice c'est à dire qu'en fait ici la transposer de ces ça va être égal à d ou inversement c'est à dire que la transposer 2d est aussi et gallas et c'est exactement la même chose donc maintenant eh bien si on regarde ce que ça veut dire par rapport aux matrices a et b donc c'est qu'est-ce que cbc s'est ab donc ça veut dire que le produit ab enfin la transposer du produit avait ça va être égal à quoi ça va être égale ici à d et donc des c'est quoi et bien c'est le produit de la transposer 2b avec la transposer de a donc là on a un résultat très intéressant puisque et bien si je fais donc le produit de deux matrices et que je reprends leur transposer et bien c'est la même chose que si je prenais bien la transposer de chacune de ces matrices et que je les multiplient dans l'ordre inverse donc ça c'est un résultat intéressant qui relie donc la transposer les matrices et la multiplication entre les matrices et donc qu'est ce que ça donnerait si je n'avais pas non pas deux matrices à multiplier mes trois matrices a multiplié donc par exemple j'ai x y z et je prends leur transpose je te le démontre pas ici mais d'après ce qu'on a vu là et bien tu peux aussi déduire que eh bien ça ça va être égal à quoi ça va être égal au produit de la transposer deux aides avec la transposer de y et la transposer 2x et tu verras que ça c'est valable pour n'importe quel n'importe quel nombre de matrice à multiplier je te remonte pas ici mais tu pourrais très bien le démontrer de la même manière que ce qu'on a fait ici en définissant des matrices arbitraire avec avec des coefficients comme on l'a fait