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Terminale option math expertes

Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 1

Leçon 3: Opérations dans l'ensemble des nombres complexes

Multiplier deux nombres complexes

Comment multiplier deux nombres complexes. Par exemple, comment faire le produit (1+2i)×(3+i).

L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme

a + b i

, où

a

b

sont des réels.

Les propriétés de la multiplication, et de façon générale, des quatre opérations sont les mêmes dans l'ensemble des complexes que dans l'ensemble des réels.

Nous allons traiter un certain nombre d'exemples.

Multiplier un nombre réel par un nombre complexe

Exemple

Effectuer le produit

- 4 \times (13 + 5 i)

Réponse

On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition, de la même façon que dans l'ensemble des réels.

\begin{aligned} - 4 \times (13 + 5 i) & = - 4 \times 13 + (- 4) \times 5 = - 52 - 20 i \end{aligned}

C'était simple !

Multiplier un imaginaire pur par un nombre complexe

Exemple

Effectuer le produit

2 i \times (3 - 8 i)

Réponse

On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition :

\begin{aligned} 2 i \times (3 - 8 i) & = 2 i \times 3 - 2 i \times 8 i = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

Le résultat contient

i^{2}

donc il n'est pas sous la forme

a + b i

On sait que

i^{2} = - 1

\begin{aligned} 6 i - 16 i^{2} = 6 i - 16 \times (- 1) = 6 i + 16 \end{aligned}

Donc

2 i \times (3 - 8 i) = 16 + 6 i

À vous !

Exercice 1

Effectuer $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
Le résultat doit être sous la forme $a + b i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exercice 2

Effectuer $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
Le résultat doit être sous la forme $a + b i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Maintenant on va calculer le produit de deux nombres complexes.

Multiplier deux nombres complexes

Exemple

Effectuer le produit

(1 + 4 i) (5 + i)

Réponse

On utilise la double distributivité.

De la même façon que quand on multiplie deux binômes, on multiplie chacun des termes du premier nombre par chacun des termes du deuxième.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = 1 \times 5 + 1 \times i + 4 i \times 5 + 4 i \times i = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

i^{2} = - 1

, donc on obtient :

\begin{aligned} 5 + 21 i + 4 i^{2} = 5 + 21 i + 4 \times (- 1) = 5 + 21 i - 4 = 1 + 21 i \end{aligned}

À vous !

Exercice 3

Effectuer $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
Le résultat doit être sous la forme $a + b i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exercice 4

Effectuer $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
Le résultat doit être sous la forme $a + b i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exercice 5

Effectuer $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
Le résultat doit être sous la forme $a + b i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exercice 6

Effectuer $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
Le résultat doit être sous la forme $a + b i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Deux autres exercices

Exercice 1

$a$ ‍ et $b$ ‍ sont deux réels. Effectuer le produit $(a - b i) (a + b i)$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exercice 2

Effectuer $(1 + 3 i)^{2} \times (2 + i)$ ‍.
Le résultat doit être sous la forme $a + b i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

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Otmane Bennani
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Otmane Bennani «Erreur dans l'exercice 6 ... »
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