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Terminale option math expertes

Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 1 

Leçon 1: L'ensemble ℂ des nombres complexes
Mathématiques
Terminale option math expertes
Nombres complexes : point de vue algébrique
L'ensemble ℂ des nombres complexes
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Le nombre i

Google Classroom
Découverte du nombre i, des nombres complexes et des nombres dont le carré est négatif.
Certaines équations du second degré n'ont pas de solution réelle.
Par exemple, il n'existe pas de réel solution de l'équation x, squared, equals, minus, 1 car il n'existe pas de réel dont le carré est négatif.
Mais l'équation x, squared, equals, minus, 1 a une solution dans l'ensemble des nombres complexes. Nous allons voir pourquoi et nous allons définir le sous-ensemble de l'ensemble des nombres complexes appelé l'ensemble des imaginaires purs.

Le nombre i

Le nombre i est à la base de l'ensemble des complexes.
Il est défini par :
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
Donc i est solution de l'équation x, squared, equals, minus, 1.

Les imaginaires purs

Si on multiplie le nombre i par un nombre réel différent de 0, on obtient ce qu'on appelle un imaginaire pur.
Par exemple, 3, i, i, square root of, 5, end square root et minus, 12, i sont des imaginaires purs. Tout nombre de la forme b, i où b est différent de 0 est un imaginaire pur.
Quel résultat obtient-on si on élève 3, i au carré ?
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Mais i, squared, equals, minus, 1, donc ;
(3i)29i2=9×(−1)=−9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &9\goldD{i^2}=9×(\goldD{-1})=-9 \end{aligned}
left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 donc un des nombres dont le carré est minus, 9 est 3, i.

À vous !

Calculer left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Quel est celui de ces deux nombres dont le carré est minus, 16, question mark
Choisissez une seule réponse :

Les imaginaires purs sont les nombres dont le carré est négatif.

Utiliser les imaginaires purs

Voici des exemples :
Une racine carréeUn imaginaire pur qui lui est égal
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
Quelle règle appliquer ?
On prend le premier exemple :
EgalitéDémarche
−9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}Les racines carrées de minus, 9 sont des imaginaires purs. L'un des nombres dont le carré est 9 est 3, donc l'un des imaginaires purs dont le carré est moins 9 est le produit de start text, 3, end text par i c'est-à-dire 3, i.
Par définition :
Quel que soit a, is greater than, 0, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
On prend un autre exemple.

Exemple

Écrire square root of, minus, 18, end square root en fonction de i.

Réponse

minus, 18 est négatif donc square root of, minus, 18, end square root est un imaginaire pur et par définition, square root of, minus, 18, end square root, equals, i, square root of, 18, end square root.
On simplifie square root of, 18, end square root.
Voici le déroulement du calcul :
Pour tout a>0, −a=ia−18=i1818 est le double de 9=i×9×2ab=a×b si a,b≥0=i9×29=3=i×3×2La multiplication est commutative=3i2\begin{aligned}\small{\gray{\text{Pour tout $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}&&\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}\\\\ \small{\gray{\text{$18$ est le double de $9$}}}&&&=i\times\sqrt{9\times 2}\\\\ \small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b} \text{ si } a, b\geq0}}&&&=i\sqrt{9}\times\sqrt{2} \\\\ \small{\gray{\sqrt{9}=3}}&&&=i\times3\times\sqrt2\\\\ \small{\gray{\text{La multiplication est commutative}}}&&&=3i\sqrt{2}&& \end{aligned}
Donc, square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

À vous !

Exercice 1

Écrire square root of, minus, 25, end square root en fonction de i.
 

Exercice 2

Écrire square root of, minus, 10, end square root en fonction de i.
 

Exercice 3

Écrire square root of, minus, 24, end square root en fonction de i.
 

Pourquoi avoir créé les nombres imaginaires ?

La réponse est simple. Le nombre i permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution réelle.
Il faut bien réaliser que c'est une erreur de dire "cette équation n'a pas de solution" ou "cette équation a une solution" car tout dépend de l'ensemble de nombres considéré. On devrait dire "cette équation n'a pas de solution dans tel ensemble de nombres" ou "cette équation a une solution dans tel ensemble de nombres".
Par exemple :
  • L'équation x, plus, 8, equals, 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des naturels, mais elle en a une dans l'ensemble des entiers.
  • L'équation 3, x, minus, 1, equals, 0 n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers, mais elle en a une dans l'ensemble des rationnels.
  • L'équation x, squared, equals, 2 n'a pas de solution dans l'ensemble des rationnels, mais elle en a une dans l'ensemble des irrationnels.
Et de même l'équation x, squared, equals, minus, 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels, mais elle en a une dans l'ensemble des imaginaires purs.
Nous avons défini ici l'ensemble des imaginaires purs. La prochaine étape sera de définir l'ensemble des complexes.

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