Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenu principal

Les différentes formes d'un nombre complexe

La forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Les trois formes d'un nombre complexe

Algébriquea+bi
Trigonométriquer(cos(θ)+isin(θ))
Exponentieller×eiθ

Forme algébrique

a+bi
Sous cette forme, la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe sont en évidence.
C'est la forme la plus adaptée si on doit additionner ou soustraire deux nombres complexes.
Dans le plan complexe l'image du nombre complexe a+bi est le point d'abscisse a et d'ordonnée b.

Forme trigonométrique

r(cos(θ)+isin(θ))
Sous cette forme c'est le module et un argument du nombre complexe z qui sont en évidence. Si M est le point du plan complexe d'affixe z, le module de z est la longueur du segment [OM]. Le module est noté avec le symbole de la valeur absolue : |z|. Un argument de z est l'une des mesures θ de l’angle orienté des demi-droites notées [Ox) et [OM) dans certains pays et [Ox et [OM dans d'autres pays
Si on développe la forme trigonométrique de z, on obtient sa forme algébrique :
r(cos(θ)+isin(θ))=rcos(θ)a+rsin(θ)b×i
Si z1 est le nombre complexe de module r1 et dont un argument est θ1 et z2 le nombre complexe de module r2 et dont un argument est θ2, alors le module de leur produit z1z2 est r1r2 et un des ses arguments est θ1+θ2.

Forme exponentielle - Formule d'Euler

r×eiθ
Sous cette forme, c'est aussi le module et un argument du nombre complexe qui sont en évidence. Il suffit de regarder comment s'écrit le produit de deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle pour se rendre compte de ses avantages et de sa simplicité :
(r1×eiθ1)×(r2×eiθ2)=r1r2×ei(θ1+θ2)
C'est Euler qui a établi que quel que soit le réel θ, eiθ=cos(θ)+isin(θ). Le raisonnement est le suivant : soit la fonction f:θcos θ+isin θ. On démontre facilement que f(θ)=if(θ). Et Euler l'a rapproché du fait que si g(x)=ekx alors g(x)=kekx=kg(x).
Bien sûr l'égalité qui lie la forme exponentielle d'un nombre complexe et sa forme trigonométrique est :
r×eiθ=r(cos(θ)+isin(θ))

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.