Les différentes formes d'un nombre complexe

Sous cette forme, la partie $\blueD{\text{réelle}}$start color #11accd, start text, r, e, with, \', on top, e, l, l, e, end text, end color #11accd et la partie $\greenD{\text{imaginaire}}$start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, i, r, e, end text, end color #1fab54 du nombre complexe sont en évidence.

C'est la forme la plus adaptée si on doit additionner ou soustraire deux nombres complexes.

Dans le plan complexe l'image du nombre complexe $a+bi$a, plus, b, i est le point d'abscisse $a$a et d'ordonnée $b$b.

Sous cette forme c'est $\goldD{\text{le module}}$start color #e07d10, start text, l, e, space, m, o, d, u, l, e, end text, end color #e07d10 et $\purpleC{\text{un argument}}$start color #aa87ff, start text, u, n, space, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff du nombre complexe $z$z qui sont en évidence. Si $M$M est le point du plan complexe d'affixe $z$z, le module de $z$z est la longueur du segment $[OM]$open bracket, O, M, close bracket. Le module est noté avec le symbole de la $\goldD{\text{valeur absolue}}$start color #e07d10, start text, v, a, l, e, u, r, space, a, b, s, o, l, u, e, end text, end color #e07d10 : $|z|$vertical bar, z, vertical bar. Un argument de $z$z est l'une des mesures $θ$θ de $\purpleC{\text{l'angle orienté}}$start color #aa87ff, start text, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, o, r, i, e, n, t, e, with, \', on top, end text, end color #aa87ff des demi-droites notées $[Ox)$open bracket, O, x, right parenthesis et $[OM)$open bracket, O, M, right parenthesis dans certains pays et $[Ox$open bracket, O, x et $[OM$open bracket, O, M dans d'autres pays

Si on développe la forme trigonométrique de $z$z, on obtient sa forme algébrique :

Si $z_1$z, start subscript, 1, end subscript est le nombre complexe de module $\goldD{r_1}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 et dont un argument est $\purpleC{\theta_1}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff et $z_2$z, start subscript, 2, end subscript le nombre complexe de module $\goldD{r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 et dont un argument est $\purpleC{\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, alors le module de leur produit $z_1z_2$z, start subscript, 1, end subscript, z, start subscript, 2, end subscript est $\goldD{r_1r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 et un des ses arguments est $\purpleC{\theta_1+\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff.

Sous cette forme, c'est aussi le $\goldD{\text{module}}$start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, e, end text, end color #e07d10 et un $\purpleC{\text{argument}}$start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff du nombre complexe qui sont en évidence. Il suffit de regarder comment s'écrit le produit de deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle pour se rendre compte de ses avantages et de sa simplicité :

C'est Euler qui a établi que quel que soit le réel $θ$θ, $e^{iθ}=\cos(θ)+i\sin(θ)$e, start superscript, i, θ, end superscript, equals, cosine, left parenthesis, θ, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, θ, right parenthesis. Le raisonnement est le suivant : soit la fonction $f:θ↦\text{cos }θ +i \text{sin } θ$f, colon, θ, ↦, start text, c, o, s, space, end text, θ, plus, i, start text, s, i, n, space, end text, θ. On démontre facilement que $f'(θ)=if(θ)$f, prime, left parenthesis, θ, right parenthesis, equals, i, f, left parenthesis, θ, right parenthesis. Et Euler l'a rapproché du fait que si $g(x)=e^{kx}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, k, x, end superscript alors $g'(x)=ke^{kx}=kg(x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, k, e, start superscript, k, x, end superscript, equals, k, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Bien sûr l'égalité qui lie la forme exponentielle d'un nombre complexe et sa forme trigonométrique est :