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Forme trigonométrique d'un nombre complexe - Produit et quotient de deux nombres complexes - Formule de Moivre

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

La forme trigonométrique d'un nombre complexe

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis
Sous cette forme c'est start color #e07d10, start text, l, e, space, m, o, d, u, l, e, end text, end color #e07d10 et start color #aa87ff, start text, u, n, space, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff du nombre complexe z qui sont en évidence. Si M est le point du plan complexe d'affixe z, le module de z est la longueur O, M. Le module est noté avec le symbole de la start color #e07d10, start text, v, a, l, e, u, r, space, a, b, s, o, l, u, e, end text, end color #e07d10 : vertical bar, z, vertical bar. Un argument de z est l'une des mesures de start color #aa87ff, start text, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, o, r, i, e, n, t, e, with, \', on top, end text, end color #aa87ff défini par l'axe open bracket, O, x, right parenthesis et le vecteur d'origine O et d'extrémité M. On appelle argument principal la valeur de cet angle comprise entre minus, π et π.
Si on développe la forme trigonométrique de z, on obtient sa forme algébrique :

1 - Multiplier ou diviser deux nombres complexes donnés sous forme trigonométrique

La forme trigonométrique est la forme la plus adaptée à la multiplication et à la division de deux nombres complexes, en effet :
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ z_2&=\goldD{r_2}(\cos\purpleC{\theta_2}+i\sin\purpleC{\theta_2}) \\ &\Downarrow \\ z_1z_2&=\goldD{r_1r_2}[\cos(\purpleC{\theta_1+\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1+\theta_2})] \\\\ \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\goldD{r_1}}{\goldD{r_2}}[\cos(\purpleC{\theta_1-\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1-\theta_2})] \end{aligned}
Exercice 1.1
  • Actuelle
w, start subscript, 1, end subscript, equals, 5, open bracket, cosine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, open bracket, cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 1, end subscript, times, w, start subscript, 2, end subscript, equals

On demande la forme trigonométrique du produit et un argument en degrés.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - La formule de Moivre

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(n×θ1)+isin(n×θ1)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ &\Downarrow \\ (z_1)^n&=(\goldD{r_1})^n[\cos(n\times\purpleC{\theta_1})+i\sin(n\times\purpleC{\theta_1})] \end{aligned}

Exercice 1

Soit à calculer left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. On écrit d'abord le nombre complexe sous forme trigonométrique :
left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis
On applique la formule de Moivre :
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(6×60)+isin(6×60)]=64(cos360+isin360)=64(1+i×0)=64\begin{aligned} &\phantom{=}[\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})]^6 \\\\ &=(\goldD 2)^6[\cos(6\times\purpleC{60^\circ})+i\sin(6\times\purpleC{60^\circ})] \\\\ &=64(\cos360^\circ+i\sin360^\circ) \\\\ &=64(1+i\times0) \\\\ &=64 \end{aligned}

Exercice 2

Soit à résoudre l'équation z, cubed, equals, 27. Si le module de z est r et l'un de ses arguments theta, alors z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, theta, right parenthesis, close bracket.
27, equals, 27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, times, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, times, 360, degrees, right parenthesis, close bracket.
On identifie les parties réelles et les parties imaginaires :
r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, 27
start color #11accd, 3, end color #11accd, times, theta, equals, k, times, 360, degrees
La solution de la première équation est r, equals, 3. TLa solution de la deuxième équation est theta, equals, k, times, 120, degrees, donc θ, equals, 0, degrees ou θ, equals, 120, degrees ou θ, equals, 240, degrees. On obtient les trois solutions :
z1=3z2=32+332iz3=32332i\begin{aligned} z_1&=3 \\\\ z_2&=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \\\\ z_3&=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \end{aligned}
Exercice 2,1
  • Actuelle
left parenthesis, square root of, 2, end square root, plus, square root of, 2, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, equals

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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