Forme trigonométrique d'un nombre complexe - Produit et quotient de deux nombres complexes - Formule de Moivre

Sous cette forme c'est $\goldD{\text{le module}}$start color #e07d10, start text, l, e, space, m, o, d, u, l, e, end text, end color #e07d10 et $\purpleC{\text{un argument}}$start color #aa87ff, start text, u, n, space, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff du nombre complexe $z$z qui sont en évidence. Si $M$M est le point du plan complexe d'affixe $z$z, le module de $z$z est la longueur $OM$O, M. Le module est noté avec le symbole de la $\goldD{\text{valeur absolue}}$start color #e07d10, start text, v, a, l, e, u, r, space, a, b, s, o, l, u, e, end text, end color #e07d10 : $|z|$vertical bar, z, vertical bar. Un argument de $z$z est l'une des mesures de $\purpleC{\text{l'angle orienté}}$start color #aa87ff, start text, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, o, r, i, e, n, t, e, with, \', on top, end text, end color #aa87ff défini par l'axe $[Ox)$open bracket, O, x, right parenthesis et le vecteur d'origine $O$O et d'extrémité $M$M. On appelle argument principal la valeur de cet angle comprise entre $-π$minus, π et $π$π.

Si on développe la forme trigonométrique de $z$z, on obtient sa forme algébrique :

La forme trigonométrique est la forme la plus adaptée à la multiplication et à la division de deux nombres complexes, en effet :

Soit à calculer $(1+\sqrt{3}i)^6$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. On écrit d'abord le nombre complexe sous forme trigonométrique :

$(1+\sqrt{3}i)=\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis

On applique la formule de Moivre :

Soit à résoudre l'équation $z^3=27$z, cubed, equals, 27. Si le module de $z$z est $r$r et l'un de ses arguments $\theta$theta, alors $z^\blueD{3}=r^\blueD{3}[\cos {(\blueD{3}\times\theta)}+i\sin {(\blueD{3}\times\theta)}]$z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, theta, right parenthesis, close bracket.

$27=27[\cos(k\times360^\circ)+i\sin(k\times360^\circ)]$27, equals, 27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, times, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, times, 360, degrees, right parenthesis, close bracket.

On identifie les parties réelles et les parties imaginaires :

La solution de la première équation est $r=3$r, equals, 3. TLa solution de la deuxième équation est $\theta=k\times120^\circ$theta, equals, k, times, 120, degrees, donc $θ=0^\circ$θ, equals, 0, degrees ou $θ=120^\circ$θ, equals, 120, degrees ou $θ=240^\circ$θ, equals, 240, degrees. On obtient les trois solutions :