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Le plan complexe

A tout nombre complexe on peut faire correspondre un point dans un repère cartésien.
Par définition, le nombre i est le nombre dont le carré est 1.
  • i2=1
  • 1=i
L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme a+bi, où a et b sont des réels.
Si z=a+ib, a est la partie réelle de z et b est sa partie imaginaire.

Le plan complexe

Le plan complexe permet de visualiser l'ensemble des complexes de la même façon que la droite numérique permet de visualiser l'ensemble des réels.
Un plan complexe muni d'un repère cartésien où l'axe des x est légendé axe des réels et l'axe des y est légendé axe des imaginaires purs. La graduation des axes est de un.
Le plan complexe est un plan muni d'un repère orthonormé.
L'axe horizontal est appelé l'axe des réels.
L'axe vertical est appelé l'axe des imaginaires purs.

Image d'un nombre complexe dans le plan complexe

A tout nombre complexe on peut faire correspondre un point du plan complexe.
Soit par exemple, le nombre z=35i=3+(5)i. Sa partie réelle est 3 et sa partie imaginaire est 5.
Son image dans le plan complexe est le point d'abscisse 3 et d'ordonnée 5.
Un plan complexe muni d'un repère cartésien où l'axe des x est légendé axe des réels et l'axe des y est légendé axe des imaginaires purs. La graduation des axes est de un. Un point est placé à (trois; moins cinq i). Un segment vertical en pointillés va de trois sur l'axe des réels à ce point et un segment horizontal en pointillés va de moins cinq i sur l'axe des imaginaire à ce point.
L'image de z=3+(5)i est le point de coordonnées (3 ;5). Quel que soit a et quel que soit b, l'image du nombre complexe z=a+bi dans le plan complexe est le point de coordonnées (a ;b). Si A est l'image de z, on dit que z est l'affixe de A.

À vous !

Exercice 1
Placer dans le plan complexe l'image du nombre z=4+7i.

Exercice 2
Placer dans le plan complexe l'image du nombre z=6i+1.

Exercice 3
Placer dans le plan complexe l'image du nombre z=i3.

Exercice 4
Placer dans le plan complexe l'image du nombre z=4i.

Exercice 5
Placer dans le plan complexe l'image du nombre z=7.

En guise de conclusion

Avant Pythagore personne ne soupçonnait qu'il puisse exister un nombre tel que 2 dont le développement décimal est illimité.
Aujourd'hui, "tout le monde" sait placer l'image de 2 sur la droite numérique car 2 est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1. Donc personne ne met en doute que ce nombre est un réel.
De la même façon, on est capable de placer l'image de n'importe quel nombre complexe dans le plan complexe.
Ce qui prouve que ces nombres existent et ne sont pas du tout "imaginaires".

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur pianokayak etc
    Erreur: Pythagore refusait l'existence des irrationnels et menaçait de mort quiquonque le contredisait!
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • piceratops ultimate style l'avatar de l’utilisateur Smaug-le-Terrible
      Si Pythagore faisait ces menaces, je ne le prends pas au sérieux. Déjà, les pythagoriciens pensaient que les irrationnels n'existaient pas, càd, que tout nombre peut s'écrire sous forme décimale ou fractionnaire. Donc tu me donnes une nouvelle raison de penser que Pythagore avait des supers idées, mais était incapable d'avoir un esprit critique.

      Est-ce que tu connais son argumentation ? Tu peux me l'exposer ?
      (3 votes)
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