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Terminale option math expertes
Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 2
Leçon 2: Module et argument d'un nombre complexe- Module d'un nombre complexe
- Module d'un nombre complexe donné sous forme algébrique
- Module et argument d'un nombre complexe
- L'argument principal d'un nombre complexe
- Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument
- Module et argument d'un nombre complexe - Savoirs et savoir-faire
Module et argument d'un nombre complexe - Savoirs et savoir-faire
Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.
| Module de a, plus, b, i | \mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root | |
| Un argument de a, plus, b, i | theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis | |
| Forme trigonométrique du nombre complexe de module r et d'argument theta | r, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, times, i |
Module et argument d'un nombre complexe
Un nombre complexe z est sous forme algébrique s'il est sous la forme a, plus, b, i, où a est sa start color #11accd, start text, p, a, r, t, i, e, space, r, e, with, \', on top, e, l, l, e, end text, end color #11accd et b sa start color #1fab54, start text, p, a, r, t, i, e, space, i, m, a, g, i, n, a, i, r, e, end text, end color #1fab54. Le nombre complexe z, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i est sous forme algébrique.
L'image dans le plan complexe du nombre complexe z, equals, a, plus, b, i est le point M, left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis :
Si start text, M, end text est l'image de z, equals, a, plus, b, i et start text, O, end text l'origine du repère, on peut caractériser le nombre complexe z par son start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, e, space, r, end text, end color #e07d10 défini comme la longueur du segment start text, open bracket, O, M, close bracket, end text et par l'une des mesures θ de start color #aa87ff, start text, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, o, r, i, e, n, t, e, with, \', on top, end text, end color #aa87ff des demi-droites notées open bracket, O, x, right parenthesis et open bracket, O, M, right parenthesis dans certains pays et open bracket, O, x et open bracket, O, M dans d'autres pays.
On peut donc caractériser le nombre complexe z par son start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, e, end text, end color #e07d10 qui est noté avec le symbole de la start color #e07d10, start text, v, a, l, e, u, r, space, a, b, s, o, l, u, e, end text, end color #e07d10 : vertical bar, z, vertical bar et par une des mesures de start color #aa87ff, start text, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, o, r, i, e, n, t, e, with, \', on top, space, end text, θ, end color #aa87ff appelée start color #aa87ff, start text, u, n, space, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff de z. La valeur de cet angle comprise entre minus, π et π est appelée l'argument principal de z.
Si z, equals, a, plus, b, i, alors vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, et l'un de ses arguments θ est tel que start text, c, o, s, space, end text, θ, equals, a, slash, vertical bar, z, vertical bar et start text, s, i, n, end text, θ, equals, b, slash, vertical bar, z, vertical bar.
La vidéo Module et argument d'un nombre complexe.
1 - Calculer le module d'un nombre complexe
On applique le théorème de Pythagore :
Par exemple, le module de z, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i est vertical bar, z, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
2 - Calculer un argument d'un nombre complexe
Pour calculer un argument d'un nombre complexe on peut utiliser la fonction start text, a, r, c, t, a, n, g, e, n, t, e, end text. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit θ, start text, t, a, n, end text, left parenthesis, θ, plus, k, ×, 180, °, right parenthesis, equals, start text, t, a, n, space, end text, θ et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre minus, 90, ° et 90, ° (ou entre minus, π, slash, 2 et π, slash, 2). Il faut donc parfois ajouter soit 180, ° (ou π), soit 360, ° (ou 2, π) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.
theta, equals, start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
Exemple 1 : M est dans le Quadrant start text, I, end text
Soit à calculer un argument de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees
Exemple 1 : M est dans le Quadrant start text, I, I, end text
Soit à calculer un argument de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. L'image de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i est dans le Quadrant start text, I, I, end text.
start text, a, r, c, t, a, n, end text, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 180, degrees.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
3 - Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument
La partie réelle du nombre complexe de module et dont un argument est θ est r, start text, c, o, s, space, end text, θ et sa partie imaginaire est r, start text, s, i, n, end text, θ
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
La forme algébrique du nombre complexe de module start color #e07d10, 2, end color #e07d10 et dont un argument est start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff :
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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Bonjour,
dans la page "Exercices : Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument", pour l'exercice où on a |z| = 13 et θ = 315°, le corrigé dit :
Calcul de a :
a = |z| cos θ
a = 13 cos 315° = (13√2)/2
Je ne comprends pas pourquoi c'est égal à (13√2)/2. Quelqu'un saurait me l'expliquer ?(2 votes)
315° = 360° - 45°, donc cos 315° = cos(360° - 45°) = cos (-45°) = cos 45° = √2/2(3 votes)