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Terminale option math expertes
Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 2
Leçon 5: Multiplier ou diviser des nombres complexes écrits sous forme trigonométrique ou exponentielleInterprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes
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La multiplication dans l'ensemble des nombres complexes
On sait multiplier deux nombres complexes qu'ils soient sous forme algébrique ou sous forme trigonométrique. En particulier, si les deux nombres sont sous forme trigonométrique, pour les multiplier on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments :
On peut visualiser ce qu'il se passe.
Que devient le point A du plan complexe d'affixe z, start subscript, 1, end subscript si on multiplie z, start subscript, 1, end subscript par z ? Plus précisément, quelle est la transformation appliquée au point A ? Si z, equals, r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis. D'après la règle rappelée plus haut, on multiplie le module de z, start subscript, 1, end subscript par celui de z et on ajoute à l'argument de z, start subscript, 1, end subscript, celui de z. On en déduit que la transformation appliquée à A est l'homothétie de centre O et de rapport r, suivie de la rotation de centre O et d'angle theta.
Exemples
Si z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis, le rapport de l'homothétie est 2 et l'angle de la rotation est 30, degrees :
Si z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction, son module est
et l'un de ses arguments est minus, 45, degrees. donc le rapport de l'homothétie est start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, comma, 471, et la rotation est la rotation de 45, degrees dans le sens rétrograde.
Si z, equals, minus, 2, son module est 2 et l'un de ses arguments est 180, degrees, donc le rapport de l'homothétie est 2 et l'angle de la rotation est l'angle plat.
Une autre façon de visualiser ces deux transformations est de placer le point d'affixe 1 et le point d'affixe z. En effet, quel que soit z, z, times, 1, equals, z, donc il suffit de repérer par quelle homothétie suivie de quelle rotation le point d'affixe 1 a comme image le point d'affixe z. Étant bien entendu que l'image de l'origine O est O car quel que soit z, z, times, 0 = 0.
Il est intéressant de voir que des résultats aussi simples que z, times, 1, equals, z et z, times, 0, equals, 0 sont d'une grande aide pour visualiser la multiplication des nombres complexes.
Interprétation géométrique de la multiplication par un nombre complexe puis par son conjugué
Que se passe-t-il si on multiplie par un nombre complexe z, puis par son conjugué z, with, \bar, on top :
Si un argument de z est theta, un argument de z, with, \bar, on top est minus, theta, donc l'angle de la rotation associée à la multiplication par z suivie de la multiplication par son conjugué est nul. On peut effectivement vérifier que l'image du point d'affixe 1 est sur l'axe des abscisses.
Et le module ? Les deux nombres ont le même module, vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, donc le rapport de l'homothétie qui résulte de la multiplication par z puis par z, with, \bar, on top est vertical bar, z, vertical bar, times, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squared.
Ce n'est pas vraiment surprenant dans la mesure où left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared mais c'est toujours intéressant d'utiliser un autre éclairage !
Interprétation géométrique de la division
Que devient le point A d'affixe z, start subscript, 1, end subscript si on divise z, start subscript, 1, end subscript par z ? Si un argument de z est theta et son module r, l'image du quotient de z, start subscript, 1, end subscript par z est le transformé de A par la rotation de centre O et d'angle minus, theta suivie de l'homothétie de centre O et de rapport start fraction, 1, divided by, r, end fraction.
Exemple 1 : Division par square root of, 3, end square root, plus, i
Un argument de square root of, 3, end square root, plus, i est 30, degrees et son module est 2, donc la transformation est une rotation d'angle 30, degrees dans le sens rétrograde suivie d'une homothétie de rapport start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
Exemple 2 : Division par start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction
Un argument de start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction est minus, 45, degrees et son module est
Donc l'angle de la rotation est plus, 45, degrees et le rapport de l'homothétie est start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, comma, 121
On peut remarquer que cette transformation est celle dans laquelle le point d'affixe z a comme image le point d'affixe 1.
Le lien entre l'interprétation géométrique de la division et la formule algébrique
Si z, equals, a, plus, b, i et w, equals, c, plus, d, i, pour calculer start fraction, z, divided by, w, end fraction on multiplie les deux termes de la fraction par le conjugué de w, start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i.
Donc diviser par w revient à multiplier par start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction. Peut-on en donner une interprétation géométrique ?
Si un argument de w est theta et son module r, les transformations associées à la division par w sont la rotation d'angle minus, theta et l'homothétie de rapport start fraction, 1, divided by, r, end fraction. L'argument de start overline, w, end overline est l'opposé de l'argument de w, donc si on multiplie par start overline, w, end overline l'angle de la rotation est bien minus, theta. Mais le rapport de l'homothétie associée à la multiplication par start overline, w, end overline est r et non pas son inverse, donc pour corriger on doit diviser par r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared.
Par exemple, si on divise par 1, plus, 2, i, graphiquement on a :
Si on commence par multiplier par son conjugué 1, minus, 2, i et que l'on divise ensuite par le carré de son module vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5, on a :
On obtient le même résultat.
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