Contenu principal
Terminale option math expertes
Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 2
Leçon 6: Puissances d'un nombre complexe écrit sous forme trigonométriqueInterprétation géométrique des puissances d'un nombre complexe
.
Le lien entre et l'image de dans le plan complexe
Quand on expose ce qu'est l'ensemble des complexes, on commence par définir ce nouveau nombre dont le carré est . Puis on définit le plan complexe où l'image de est le point de coordonnées . Est-ce cohérent avec l'interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes ?
Oui, car la rotation associée à la multiplication par est la rotation de centre l'origine et d'angle .
Ceci parce que le module de est et parce que l'un de ses arguments est ,
Que se passe-t-il si on multiplie deux fois de suite par ?
Si on multiplie deux fois de suite par , la rotation associée est la rotation de centre et d'angle , c'est-à-dire la rotation associée à la multiplication par . Ce qui normal car multiplier deux fois de suite par , c'est multiplier par qui est égal à .
Tout est bien cohérent !
Les puissances des nombres complexes
Quelle est l'interprétation géométrique de la puissance d'un nombre complexe ?
Exemple 1 :
Le module de est et l'un de ses arguments est . Quelle est la transformation que l'on peut associer à trois multiplications par successives ?
A chacune des multiplications est associée l'homothétie de centre et de rapport , donc l'homothétie associée à trois multiplications par successives est l'homothétie de centre et de rapport . De même à chacune des multiplications est associée la rotation de centre et d'angle , donc la rotation associée à trois multiplications par successives est la rotation de centre et d'angle . La transformation associée est donc l'homothétie de rapport suivie de la rotation dont l'angle est l'angle plat. On obtient le même résultat que si on avait multiplié par , donc .
Algébriquement :
Exemple 2 :
Quelle est la suite de transformations que l'on peut associer à huit multiplications par successives ?
Le module de est :
A chacune des multiplications par est associée l'homothétie de centre et de rapport donc le rapport de l'homothétie associée à multiplications par successives est .
A chacune des multiplications par est associée la rotation de centre et d'angle , donc l'angle de la rotation associée à multiplications successives par est , c'est-à-dire la rotation d'angle nul. On en déduit que .
Algébriquement :
Exemple 3 :
Ici, la question est de résoudre l'équation dans l'ensemble des complexes. Bien sûr est une solution, mais y en a-t-il d'autres ? Une interprétation de est que multiplier fois de suite par revient à multiplier par . Multiplier fois de suite par , c'est appliquer fois de suite à l'image de dans le plan complexe une certaine homothétie de centre suivie d'une certaine rotation de centre . Si , c'est que la transformation associée à multiplications successives par est la transformation identique.
Tout d'abord, le rapport de l'homothétie associée à la multiplication par est obligatoirement , donc le module de est égal à . Pour la rotation, puisque l'on se retrouve au point de départ après l'avoir appliqué cinq fois de suite, c'est que son angle est égal à d'un tour complet :
si on applique fois de suite cette rotation, on se retrouve au point de départ.
Il y a d'autres solutions, comme par exemple, la rotation dont l'angle est égal à du tour complet.
ou la rotation dans le sens rétrograde dont l'angle est égal à du tour complet.
Les images dans le plan complexe des valeurs de solutions de l'équation sont les sommets d'un pentagone régulier :
Exemple 4 :
L'homothétie cherchée appliquée fois de suite est l'homothétie de rapport , donc l'homothétie cherchée est de rapport . La rotation cherchée appliquée fois de suite est la rotation d'angle , donc l'angle de la rotation cherchée est . Donc une solution de l'équation est
Mais il y a d'autres solutions. Il y a solutions ! Ce sont les affixes des sommets de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle de rayon :
A vous de le justifier !
Généralisation à l'équation
Si on doit résoudre cette équation pour une certaine valeur de et une certaine valeur de (comme dans l'exemple précédent où et ), on commence par écrire sous forme trigonométrique :
Un argument de est et le module de est . En effet la transformation associée à la multiplication fois de suite par doit être l'homothétie de centre et de rapport suivie de la rotation de centre et d'angle . Donc :
On est arrivé à cette solution à partir de l'argument de . Pour trouver les autres solutions, il suffit de penser aux autres arguments de : , , etc. c'est-à-dire, pour tout , . En prenant l'argument , on a obtenu la rotation d'angle , mais si on prend, par exemple, l'argument , on obtiendra une rotation différente. Donc la forme générale des solutions est :
Les solutions sont les valeurs de pour , .... jusqu'à . Si , alors et la rotation associée est la même que la rotation d'angle donc on obtient la même valeur de z pour que pour , puis la même valeur de z pour que pour , et ainsi de suite.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Pas encore de posts.