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Terminale option math expertes

Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 2 

Leçon 6: Puissances d'un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique
Mathématiques
Terminale option math expertes
Nombres complexes : point de vue géométrique
Puissances d'un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique
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Interprétation géométrique des puissances d'un nombre complexe

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Le lien entre i, squared, equals, minus, 1 et l'image de i dans le plan complexe

Quand on expose ce qu'est l'ensemble des complexes, on commence par définir ce nouveau nombre i dont le carré est i, squared, equals, minus, 1. Puis on définit le plan complexe où l'image de i est le point de coordonnées left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis. Est-ce cohérent avec l'interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes ?
Oui, car la rotation associée à la multiplication par i est la rotation de centre l'origine et d'angle 90, degrees.
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Ceci parce que le module de i est 1 et parce que l'un de ses arguments est 90, degrees,
Que se passe-t-il si on multiplie deux fois de suite par i ?
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Si on multiplie deux fois de suite par i, la rotation associée est la rotation de centre O et d'angle 180, degrees, c'est-à-dire la rotation associée à la multiplication par minus, 1. Ce qui normal car multiplier deux fois de suite par i, c'est multiplier par i, squared qui est égal à minus, 1.
Tout est bien cohérent !

Les puissances des nombres complexes

Quelle est l'interprétation géométrique de la puissance d'un nombre complexe ?

Exemple 1 : left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Le module de z, equals, 1, plus, i, square root of, 3, end square root est square root of, 1, squared, plus, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end square root, equals, 2 et l'un de ses arguments est 60, degrees. Quelle est la transformation que l'on peut associer à trois multiplications par z successives ?
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A chacune des multiplications est associée l'homothétie de centre O et de rapport 2, donc l'homothétie associée à trois multiplications par z successives est l'homothétie de centre O et de rapport 8. De même à chacune des multiplications est associée la rotation de centre O et d'angle 60, degrees, donc la rotation associée à trois multiplications par z successives est la rotation de centre O et d'angle 180, degrees. La transformation associée est donc l'homothétie de rapport 8 suivie de la rotation dont l'angle est l'angle plat. On obtient le même résultat que si on avait multiplié par minus, 8, donc left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed, equals, minus, 8.
Algébriquement :

Exemple 2 : left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Quelle est la suite de transformations que l'on peut associer à huit multiplications par z successives ?
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Le module de 1, plus, i est :
vertical bar, 1, plus, i, vertical bar, equals, square root of, 1, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 2, end square root,
A chacune des multiplications par z est associée l'homothétie de centre O et de rapport square root of, 2, end square root donc le rapport de l'homothétie associée à 8 multiplications par z successives est left parenthesis, square root of, 2, end square root, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 2, start superscript, 4, end superscript, equals, 16.
A chacune des multiplications par 1, plus, i est associée la rotation de centre O et d'angle 45, degrees, donc l'angle de la rotation associée à 8 multiplications successives par z est 8, times, 45, degrees, equals, 360, degrees, c'est-à-dire la rotation d'angle nul. On en déduit que left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 16.
Algébriquement :
=(1+i)8=(2×(cos⁡(45∘)+isin⁡(45∘))8=(2)8×(cos⁡(45∘+⋯+45∘⏟8 termes)+isin⁡(45∘+⋯+45∘⏟8 termes))=16(cos⁡(360∘)+isin⁡(360∘))=16\begin{aligned} &\phantom{=}(1 + i)^8 \\\\ &= \left(\sqrt{2}\times(\cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ) \right)^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \times \left( \cos(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ termes}}) + i\sin(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ termes}}) \right) \\\\ &= 16 \left(\cos(360^\circ) + i\sin(360^\circ) \right) \\\\ &= 16 \end{aligned}

Exemple 3 : z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Ici, la question est de résoudre l'équation z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1 dans l'ensemble des complexes. Bien sûr z, equals, 1 est une solution, mais y en a-t-il d'autres ? Une interprétation de z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1 est que multiplier 5 fois de suite par z revient à multiplier par 1. Multiplier 5 fois de suite par z, c'est appliquer 5 fois de suite à l'image de 1 dans le plan complexe une certaine homothétie de centre O suivie d'une certaine rotation de centre O. Si z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1, c'est que la transformation associée à 5 multiplications successives par z est la transformation identique.
Tout d'abord, le rapport de l'homothétie associée à la multiplication par z est obligatoirement 1, donc le module de z est égal à 1. Pour la rotation, puisque l'on se retrouve au point de départ après l'avoir appliqué cinq fois de suite, c'est que son angle est égal à start fraction, 1, divided by, 5, end fraction d'un tour complet :
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si on applique 5 fois de suite cette rotation, on se retrouve au point de départ.
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start fraction, 360, degrees, divided by, 5, end fraction, equals, 72, degrees, donc le nombre cherché est z, equals, cosine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis.
Il y a d'autres solutions, comme par exemple, la rotation dont l'angle est égal à start fraction, 2, divided by, 5, end fraction du tour complet.
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ou la rotation dans le sens rétrograde dont l'angle est égal à start fraction, 1, divided by, 5, end fraction du tour complet.
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Les images dans le plan complexe des valeurs de z solutions de l'équation sont les sommets d'un pentagone régulier :
Les solutions de l'équation z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Exemple 4 : z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 donc la transformation associée à la multiplication 6 fois de suite par z est une homothétie de rapport 27 suivie d'une rotation d'angle 180, degrees car le signe moins montre que l'angle de la rotation est 180, degrees.
L'homothétie cherchée appliquée 6 fois de suite est l'homothétie de rapport 27, donc l'homothétie cherchée est de rapport root, start index, 6, end index, equals, square root of, 3, end square root. La rotation cherchée appliquée 6 fois de suite est la rotation d'angle 180, degrees, donc l'angle de la rotation cherchée est start fraction, 180, degrees, divided by, 6, end fraction, equals, 30, degrees. Donc une solution de l'équation z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 est
3(cos⁡(30∘)+isin⁡(30∘))=3(32+i12)=32+i32\begin{aligned} \sqrt{3}(\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ)) &= \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}
Mais il y a d'autres solutions. Il y a 6 solutions ! Ce sont les affixes des sommets de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle de rayon square root of, 3, end square root :
Les solutions de l'équation z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27
A vous de le justifier !

Généralisation à l'équation z, start superscript, n, end superscript, equals, w

Si on doit résoudre cette équation pour une certaine valeur de n et une certaine valeur de w (comme dans l'exemple précédent où n, equals, 6 et w, equals, minus, 27), on commence par écrire w sous forme trigonométrique :
w, equals, r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Un argument de z est start fraction, theta, divided by, n, end fraction et le module de z est root, start index, n, end index. En effet la transformation associée à la multiplication n fois de suite par z doit être l'homothétie de centre O et de rapport r suivie de la rotation de centre O et d'angle theta. Donc :
z, equals, root, start index, n, end index, times, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis
On est arrivé à cette solution à partir de l'argument theta de w. Pour trouver les autres solutions, il suffit de penser aux autres arguments de w : theta, plus, 2, pi, theta, plus, 4, pi, etc. c'est-à-dire, pour tout k, theta, plus, 2, k, pi. En prenant l'argument theta, on a obtenu la rotation d'angle start fraction, theta, divided by, n, end fraction, mais si on prend, par exemple, l'argument theta, plus, 2, pi, on obtiendra une rotation différente. Donc la forme générale des solutions est :
z, equals, root, start index, n, end index, times, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis où k est un entier.
Les solutions sont les valeurs de z pour k, equals, 0, k, equals, 1 .... jusqu'à k, equals, n, minus, 1. Si k, equals, n, alors start fraction, theta, plus, 2, n, pi, divided by, n, end fraction, equals, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, plus, 2, pi et la rotation associée est la même que la rotation d'angle start fraction, theta, divided by, n, end fraction donc on obtient la même valeur de z pour k, equals, n que pour k, equals, 0, puis la même valeur de z pour k, equals, n, plus, 1 que pour k, equals, 1, et ainsi de suite.

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