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La méthode des rectangles avec la notation sigma - Exemple

Transcription de la vidéo

bonjour ce que je voudrais faire dans cette vidéo c'est s'entraîner à calculer des valeurs approché de certaines aires comprise entre une courbe et l'axé des abscisses et puis des droites verticale données et puis aussi en profiter pour se familiariser un peu plus avec l'annotation au sigma la notation de somme dans ce contexte alors ici ce qu'on a c'est une fonction fdx égal 1 + 1 10e de xo carrés et sa courbe représentative qui est ici tracée en bleu dans leur père et puis on a ici 4 rectangles et en fait c'est 4 rectangles sont là pour tenter de donner une valeur approché de l'air qui est compris sous la courbe représentative de notre fonction f au dessus de l'axé des abscisses et puis entre les droites verticale alors c'est cette droite là la droite d'équations x égal 0 et puis cette droite là d'équations x égale 8 et donc pour trouver une valeur approché de cette aire est bien l'idée qui est ici c'est de découper cette surface en 4 rectangles alors ici j'ai le rectangle 1 ici j'ai le rectangle 2 ici j'ai le rectangle 3 et ça c'est le quatrième rectangle donc le rectangle 4 est en fait bien ses 4 rectangles ce qu'on peut remarquer c'est que ils ont la même largeur la largeur de celui ci c'est ce segment là qui mesure 2 la largeur du rectangle 2 c'est cette largeur là qui est égale à deux aussi pour le rectangle 3 la largeur ces deux aussi qui est ici et pour le rectangle 4c de aussi donc en fait on a divisé le segment de 0 à 8 en quatre parties égales chacune d'amplitude de on va dire de longueur 2 donc finalement la largeur de chaque rectangle ces deux et puis il faut qu'on arrive à déterminer la hauteur de ces rectangles alors la hauteur du premier rectangle on peut la lire ici c'est cette distance là mais en fait c'est pas très pratique de le voir comme ça il faut qu'on arrive à relier cet auteur à notre fonction f est donc en fait c'est plutôt ici qu'il faut calculer la hauteur c'est à dire en fête au milieu de notre segment entre 0 et 2 au milieu de la largeur du rectangle est ici ben ce qu'on a c'est f21 en fait cette hauteur là cf 2 1 pour le deuxième c'est pareil on va calculer ici cf de 3 7 longueurs l'acquis et la hauteur du rectangle 2 puis en fait pour chaque rectangle c'est la même chose la hauteur et bien c'est l'image la valeur de la fonction au milieu du segment donc voilà pour le troisième c'est ça et pour le quatrième c'est cette hauteur là mais donc finalement l'air sous notre courbe l'air de cette portion du plan est bien une valeur approché ça va être la somme des airs de ces 4 rectangles qui sont ici alors comment est ce qu'on va pouvoir écrire ça cette somme avec l'annotation sigma dont la notation de somme que tu connais déjà alors je vais commencer à le faire ici et puis ce que j'aimerais c'est que tu mettes la vidéo sur pause et que tu prennes la suite alors la première chose c'est qu'on a ici une somme de quatre aires est donc une somme de quatre éléments alors je vais l'écrire comme ça c'est la somme pour k qui va de 1 ça c'est mon premier rectangle jusqu'à 4 qui sera le quatrième rectangle alors mais la vidéo sur pause essaye de compléter ce qui vient ensuite bien sûr fait le plus tôt avec l'annotation fonctionnel pour l'instant c'est pas la peine d'utiliser l'expression de la fonction elle même alors maintenant que tu as réfléchi ton côté je vais le faire il faut que je calcule l'air de chacun de ces rectangles donc pour le premier j'ai une largeur qui est égal à 2 donc je vais avoir deux fois quelque chose et ce quelque chose est bien telle hauteur du rectangle donc cf2 alors ici on serait tenté de dire est-ce de cas voilà puisque pour le premier rectangle et bien je dois calculé deux fois f21 donc le premier exemple ces cas égal 1 et effectivement on aurait bien deux fois f21 mais en fait c'est pas ça parce que si on regarde ce qui se passe pour cac et gagne 2 eh bien je vais avoir un rectangle qui a une largeur égale à 2 mais la hauteur ça sera pas f-22 cf 2 3 donc ici en fait ça ça marche parce qu'on vient de faire f de kite est en fait il faut qu'on arrive à déterminer le lien qu'il ya entre le numéro du rectangle et le nombre dont on doit à calculer l'image alors pour ça je vais faire un petit tableau de colonne ici je vais m k qui est donc lundi 6 6 4 présente le numéro du rectangle est ici f2 alors je sais pas de quoi encore est justement le but c'est de trouver de la relation qu'il ya entre lundi cela est ce que je dois mettre dans la fonction ici alors pourquoi égale 1 1 gf 2 1 pour kaka 2 eh bien ça doit être la hauteur du 2e triangle kiev 2 3 pour canal 3 eh bien je dois avoir la hauteur de ce rectangle qui est f 2,5 et enfin pour le dernier rectangle je dois avoir cette hauteur là qui est f de cette voie là alors maintenant il faut qu'on trouve un lien entre l' indice est l'argument de la fonction donc ici je fais deux fois 1 - 1 donc deux fois cac -1 2 x 1 - 1 ça fait bien un donc ça marche pour ici et puis ici deux fois 2 - 1 et bien ça fait 3 2 x 3 - 1 ça fait 5 et 2 x 4 - 1 ça fait 7 donc voilà c'est ce qu'il faut qu'on fasse c'est pour l' indice car on va calculer f-22 cac -1 et donc ici ce que j'ai cf de 2k - là tu peux encore vérifier si tu veux que pour qu'à égal 1 tu obtiens bien l'air de ce rectangle pour canal de l'air de celui ci et ainsi de suite voilà donc ça c'est l'expression de la valeur approché de l'air qu'on cherche à calculer ici écrite sous la forme d'une somme avec l'annotation sigma donc j'espère que ce sera aidé à concrétiser un petit peu l'utilisation de ce signe sigma est maintenant bon puisqu'on l'a écrit on peut quand même calculer cette valeur approché alors j'enlève ça pour faire un peu d espace et en fait ce que je vais faire c'est réécrire sa en extension et ça nous permettra aussi de voir que ça marche bien que notre somme on l'avait bien écrite donc pour qu'alain j'ai deux fois f/2 2 x 1 - c'est-à-dire f2 un plus pour qu à égal 2 j'ai deux fois f/2 2 x 2 - 1 c'est-à-dire f 2 3 plus deux fois f 2,5 ça c'est pour qu'à égal 3 2 x 3 - ça fait bien cinq plus enfin le dernier terme qui est deux fois f de 2 x 4 - 1 c'est-à-dire cette voie là alors maintenant à ce stade là on peut utiliser l'expression de f pour calculer ces valeurs là ce que je peux faire aussi ses joies qui est un facteur commun donc je vais m le 200 facteurs donc ça va me donner deux fois f 2 1 + f 2 3 + f 2,5 plus f27 voilà et maintenant je vais calculé en utilisant l'expression de f chacun des termes de la parentèle alors le premier terme f2 1 c'est donc un plus un dixième fois un o car est donc un plus un dixième ça fait 1,1 je n'écrirai notation décimales plus le deuxième terme kiev 2 3 ici donc c'est un plus un dixième fois neuf donc un plus 9/10 ça fait 1,9 ensuite j'ai f25 donc ici il faut que j'ajoute plus f25 c'est un plus un dixième fois 5 o car est donc un plus 25/10 25/10 ses 2,5 et donc ici j'ai un +25 qui est égal à 3,5 et enfin le dernier f27 et bien c'est un plus un dixième fois 49 donc un +49 10e ça fait 1 +49 ça fait 5,9 donc ici j'ai 5,9 et puis bien sûr il faudra que je multiplie tout ça par deux alors je vais faire les calculs là dedans ici un puce 1,9 ça ça fait 3 1 plus 1 2 et 0,1 +0 9 ça fait 1 et puis ici alors ici j'ai 3.5 +5 saffré 8.5 et il faut que j'ajoute 09 donc ça fait 9,4 est ce que là j'ai bien calculé 3.5 +5 ça fait 8 25 +0 9 luis et ça ça fait bien ça donc finalement j'ai alors deux fois 3 + 9,4 ça fait donc deux fois 12,4 et ça ça fait donc 24 8 voilà ça c'est une valeur approché de l'air qui est comprise sous cette courbe entre lax des abscisses et les droites x égal zéro et xo 8 évidemment tout ça exprimés en unités d'air