If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :4:43

Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle fermé

Transcription de la vidéo

alors ici on va essayer de se demander ce que ça peu ce que peut bien être la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle alors qu'est ce que je veux dire par là qu'est ce que ça peut bien vouloir dire la valeur moyenne une fonction on va digérer ces tracés pour 6 de se faire une idée visuellement de ce que ça représente je trace un repère avec ici lax désordonnée et voilà l'axé des abscisses et je trace une courbe de fonctions y est ghallef 2x et je me place sur un segment sur un intervalle fermé sur l'axé des abscisses entre a et b et tu sais que quand je fais ça je définis une ère sous la courbe entre a et b voilà celle que je jean ferme ici et je me demande entre a et b quelle est la valeur moyenne de cette fonction cette fonction prix en prend plein de valeurs entre a et b et je me demande en gros quelle est la valeur moyenne quelle la moyenne des valeurs de cette fonction évidemment comme j'ai une infinité de valeur je ne peux pas additionner / la quantité de valeur ce qu'on fait quand on a une moyenne mais on peut se dire que en fait ce serait là la hauteur moyenne de la fonction c'est à dire que ce serait en quelque sorte le nombre par lequel on multiplierait la largeur du segment et du segment ab pour obtenir l'air sous la courbe alors ses terres sous la courbe ses terres sous la courbe quand tu là celle que je hachures ici on s'est exprimé on sait que c'est l'intégrale entre a et b de f2 xd x et donc on va essayer de trouver une main moyens une formule qui exprime la valeur moyenne de la fonction sur ce segment à b1 c'est céline valeur moyenne sur un segment c c'est important de le voir c'est pas une voyante valeur moyenne sur toute la fonction en général même si on pourra quelquefois donner un sens à ça après donc si je la représente ici c'est en quelque sorte la hauteur moyenne entre entre a et b où arrive la fonction et si je représente cet auteur ben que si je multiplie la hauteur par la largeur la largeur du segment ab ça me donnerait un rectangle ce rectangle là que je dessine en ce moment et est donc qu'elle serait en fait qu'elle serait en fait c'était hauteur pour que ça nous fasse une moyenne bien ça ça rappelle un petit peu la manière de calculer l'air d'un trapèze comment tu fais pour calculer l'air d'un trapèze et bien tu que tu multiplies la hauteur du trapèze par la moyenne des écarts entre les deux côtés ce qui en quelque sorte en quelque sorte la parallèle qui est tracée à mi chemin entre la base du haut est la base du bas d'accord voilà comme on calcule saisi ya aussi une question de valeurs moyennes lorsqu'on calcule l'air d'un trapèze bon là là ici on va pas nécessairement se placer à mi chemin entre le haut et le bas parce que la fonction qu'on considère n'est pas une fonction affine c'est pas une droite mais donc l'idée c'est de trouver cette ces espèces de cette valeur qu'on nomme souvent petit m et et comment on va faire pour la trouver quelle formule on va on va prendre pour la trouver c'est à peu près ce qu'on a dit c'est c'est de se dire que l'ère du rectangle à que je définis c'est la même que l'air sous la courbe et l'air du rectangle que je définis infos que je multiplie ce petit m c'était auteurs la part des moins à part b - à qui est la différence entre petit à petit b qui est bien la largeur de mon rectangle donc quand je multiplie ces deux valeurs moyennes petites m par b - a j'obtiens l'air sous la courbe et cette serre sous la courbe on sait que c'est l'intégrale entre a et b de f 2 x 2 x et donc si je veux la valeur moyenne il faut que j'isole ce petit est mais il faut donc que je divise à gauche et à droite de cette égalité par b - à albi est bien évident que b - ah c'est un segment de longueur non nul donc c'est un segment où à est strictement inférieure à bbb en jeu peu / b - a et donc le mon petit m ma valeur moyenne de l'intégrale c1 sur b - za intégral entrera et b2f 2x dx bon évidemment ça nous donne une formule et on est toujours tenté d'apprendre par coeur les formules moi je te conseille fortement non pas d'apprendre par coeur cette formule mais de bien comprendre comment on la retrouve de biens et morizet ce dessin il se dira l'ère du rectangle c'est la même air que l'air sous la courbe est ainsi même si tu te souviens plus exactement de la formule tu la comprend et tu sais la retrouver est ce qu'on va faire ensuite c'est calculé faire des exemples de calcul sur des fonctions donnait de valeur moyenne sur des segments donné on va appliquer cette formule