Points d'inflexion - Savoirs et savoir-faire

Un point d'abscisse $a$a est un point d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction si cette fonction change de concavité en $a$a.$\operatorname{}\operatorname{}$

Pour déterminer les abscisses des extremums d'une fonction, on cherche les points où la dérivée s'annule en changeant de signe. Pour déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe, on cherche les points où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

Soit, par exemple, à déterminer les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$f définie par $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared.

$f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.

$f''(x)=0$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 en $x=-2$x, equals, minus, 2 et en $1$1 et $f"$f, " est définie sur $ℝ$ℝ. $-2$minus, 2 et $1$1 définissent trois intervalles :

Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de $f''(x)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript sur l'intervalle.

$f$f change de concavité en $-2$minus, 2 et en $1$1, donc les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de $f$f sont $-2$minus, 2 et $1$1.