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Maximum ou minimum absolu d'une fonction sur son domaine de définition

Applications de la dérivation

Transcription de la vidéo

bonjour ce que je te propose de faire dans cette vidéo c'est d'essayer de déterminer si cette fonction-là la fonction que j'ai qui est défini comme ça j'ai 2 x et gallix au carré fois logarithme naturel de x6 cette fonction là admet un extrême homme sur son ensemble de définition alors évidemment bien sûr il faut qu'on détermine d'abord le domaine de définition de cette fonction donc ici dans l'expression de g on a logarithme naturel 2x et on sait que la fonction logarithme naturel n'est pas défini pour les valeurs de x inférieur ou égal à zéro donc finalement le domaine de définition de la fonction j'ai c'est l'ensemble des nombres réels positifs non nul alors je peux l'écrire aussi comme ça c'est l'ensemble de toutes les valeurs supérieures à zéro donc l'intervalle qui va de 0 à + l'infini voilà alors ça c'est une première chose donc maintenant le problème qu'on se pose c'est essayer de voir si cette fonction là admet une valeur maximale ou minimal sur son ensemble de définition et pour ça évidemment on va utiliser ce qu'on sait et on sait qu'en général une fonction va avoir un extrême homme quand sa dérivée va changer de signe donc ce que je vais faire là c'est calculé la dérive et de j'ai donc la fonction j'ai primes de x et cette dérive et là je vais l'a calculé en utilisant la règle de dérivation d'un produit puisque ici g2x c'est le produit de xo carré fois l'oc ii x donc j'ai déjà la dérive et 2x au carré qui est 2 x x logarithme 2x plus x au carré x la dérive et de logarithmes 2x qui est un sur x j'étudie cette dérive et bien sûr sur l'ensemble de définition de g alors bon je peux faire quelques simplifications x au carré ici x 1 sur x ça ça fait tout simplement x donc j'ai prime de xc 2x logarithme 2x plus x alors ça c'est l'expression de la dérivée de g mais comme on va étudier son signe en fait je vais là factoriser alors j'ai un facteur commun qui est x ici donc je vais le mettre en facteurs et j'obtiens x factor de alors ces deux logarithme 2x plus un voilà alors en fait ce qui nous intéresse nous c'est pas tellement la dérive et 2g primes de x mais surtout son signe donc ce qu'on doit faire c'est déterminer quand est-ce que j'ai primes de x et positive par exemple et puis évidemment si on détermine quand est-ce que j'ai primes de x est positif on sera automatiquement quand est-ce que j'ai primes de x est négatif et donc quand est-ce que j'ai primes de x est égal à zéro donc c'est tout à fait ce qui nous intéresse alors c'est une équation là elle est équivalente à celle ci un x x 2 logarithme 2x plus un supérieur ou égal à zéro alors ici on a un produit de deux termes donc tu serais 30 et pour étudier le signe de cette expression là de dresser un tableau de signe ça serait très bien mais ici c'est pas vraiment la peine de faire ça puisque en fait le x qui est là ce facteur là x il est strictement positif toujours puisque là on considère des valeurs de x qui sont dans l'intervalle zéro + l'infini donc strictement positive ce qui veut dire que finalement x est positif donc x x de logarithmes 2x plus sains et positifs si et seulement si deux logarithme 2x plus sains et strictement enfin supérieur ou égal à zéro pardon alors maintenant ça ça nous donne je vais faire passer l'un de l'autre côté et ensuite je vais divisé par deux ça nous donne logarithme 2x supérieur à -1 2 me et maintenant je peux appliquer la fonction exponentielle aux deux membres de cette inéquation et comme elle est croissante eh bien le sens de l'inégalité ne va pas changer alors je vais avoir exponentielle de logarithmes de x ça c'est tout simplement x qui est plus grand que exponentielle de -1 2 me est exponentielle de -1 2 me en fait c'est un sur racine carrée de peu alors à partir de ça on peut dresser le tableau de variation de la fonction f je vais le faire ici je fais mon tableau alors ici je vais mettre les valeurs de x donc qui commence à 0 mais j'ai une double barre ensuite j'ai une valeur particulière de x qui est celle ci un sur racine carrée 2e qui est une valeur pour laquelle la dérive et va changer de signe ça c'est donc un sur racine carrée 2e et puis là mon domaine et illimité donc je vais jusqu'à x qui va vers plus l'infini ici je vais mettre le signe de f prime alors d'après ce qu'on vient de déterminer quand hicks est supérieur à 1 sur racine de donc dans cette partie là et bien la dérive et est positive voilà donc j'ai un plus ici quand hicks est égal à 1 sur racine carrée 2e et bien ça on l'a pas vraiment explicités mais ces contenus dans le travail qu'on a fait ici la dérive et est égal à zéro et puis quand hicks est compris entre 0 et 1 sur racine carrée 2e donc dans cet intervalle à la dérive et est négative voilà donc ici je vais pouvoir me servir de ça pour déterminer les variations de f voilà alors dans cet intervalle à la dérive et est négatif donc la fonction va être décroissante et puis dans l'intervalle un sur racine carrée de plus l'infini la dérive est positive donc la fonction va être croissantes alors d'après ce tableau de variation voit que la fonction est décroissante puis croissante donc pour un sur racine carrée 2e on a un minimum un minimum absolu gall 1 sur racine carrée 2e alors on pourrait calculer la valeur de ce minimum cg21 sur racine carrée 2e qui est donc égale à 1 sur racine carrée 2e au carré ça c'est un sur eux fois logarithme de 1 sur racine carrée 2e alors tout à l'heure on a dit que un sur racine carrée 2e c'était eux puissance - 1/2 donc logarithme de 1 sur racine carrée 2 en fait ça fait moins un demi donc finalement ça s'est moins un sur deux voilà donc ce que je peux rajouter ici donc on a un minimum absolu en x égal 1 sur racine carrée de 2 qui a pour valeur - 1 sur 2 e par contre la fonction j'ai n'a pas de maximum absolu sur son domaine de définition puisque alors ça on pourrait le voir en calculant les limites mais ici par là la limite de g quand x tend vers plus l'infini on peut le voir assez facilement puisque xo carey d'anvers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini et logarithme 2x temps aussi vers plus l'infini quand x tend vers plus infinie donc finalement j'ai va tendre vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini voilà je vais me mettre ici voilà là on va terminer cette limite la suffit à dire qu'il n'ya pas de maximum absolu on pourrait aller regarder ce qui se passe de l'autre côté en fait ici la limite est égal à zéro ça se démontre aussi mais on va pas le faire dans cette vidéo voilà alors pour terminer je vais te montrer la courbe représentatif de cette fonction alors je vais baisser un petit peu donc effectivement on voit qu'elle est d'abord décroissante jusqu'à atteindre un minimum qui est leur donner de ce point là donc à peu près ici voilà et donc l'abscisse de ce point c'est ce point à peu près ici là qui est donc un sur racine carrée 2e et ici c'est moins un sur deux et sur ce graphique on peut voir aussi les deux limites qu'on a déterminé tout à l'heure enfin pas tout à fait ici quand x tend vers zéro la fonction s'approche de zéro de la valeur zéro et quand x tend vers plus l'infini la fonction ce temps vers plus l'infini