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Applications de la dérivation

Transcription de la vidéo

on te donne cette fonction est de x est égal à x x e à la puissance moins de six carrés qui est définie par tous sur air et eau ont te demande de trouver les coordonnées des points uefa tu as un extrait mom locale alors quel outil va nous aider à trouver les extrêmes hommes locaux de cette fonction c'est f primes de x on va dériver f et ensuite on sait qu'on va on peut atteindre un extrême hommes lorsque est fait soit nom dérive à bhl en un point soit lorsque la dérive est égal à zéro alors là c'est assez évident est fait des rivales partout et tu vas le voir une fois qu'on va trouver la formule 2 de aef prime est ensuite lorsqu'on aura trouvé avec primes et qu'on aura trouvé là où elf prime est égal à zéro on aura trouvé donc les apsys des points où elle atteint extrême hommes et ensuite on n'aura plus qu'à trouver les ordonner et vérifier qu'il s'agit effectivement d'extrême- parce que f prime change de signe assez pour ses valeurs de x et donc on va devoir faire une étude du cygne de f primes de x voilà voilà tout le plan de bataille et maintenant appliquons le alors f primes de x est égal à quoi donc j'applique la formule du produit la dérive et 2x et un auquel je multiplie eux à la puissance - 2 x car et je le garde tel quel et auquel j'ajoute x que je multiplie par la dérive est 2e à la puissance - 2 x carré donc je dois d'abord prendre la dérive est de - 2 x carré ça fait moins 4 x que je multiplie par deux puissances x par la dérive et 2e puissance x qui est depuis 106 sauf qu'à la place de x je dois inséré - 2 x carré très bien donc là j'ai obtenu la dérive et 2f prix mais je peux la factoriser davantage on va essayer de la factoriser tant que possible parce que pour faire pour étudier le signe d'une fonction on on est on ne veut sa forme factoriser là on peut factoriser d'abord par eux à la puissance - 2 x car et donc ces facteurs de 1 alors plus x fois moins 4 x a fait moins 4 x carré - 4x carré et là je peux factoriser encore davantage car 1 - 4 x carré est égal à zéro pour 4 x carré est égal à 1 donc x est égal à racine de un quart ou moins racines de 1/4 donc plus ou moins un demi très bien cela veut dire que je peux factoriser f prime encore davantage en factories en ce ce polinum du second degré ainsi x + 1/2 x x - 1/2 alors au passage f prime est définie par tout ce qui veut dire que ai fait des rivales partout donc ce qui nous intéresse de chercher les x pour lesquels f primes de x est égal à zéro et il s'agit de - 1/2 et 2 1/2 ou 1/4 à la puissance moins deux puissants 6/4 et n'est jamais égal à zéro et d'ailleurs elle est toujours positive donc ça ça va nous aider pour chercher le site de f prime alors du coup le reste de cette fonction à quoi à quoi est-ce qu'elle ressemble donc je vais la dessiner ici on a une parabole on a une parabole ans en cloche comment est ce que je sais qu'on a une parabole en cloche car le signe de ce paramètre ici le signe du coefficient du terme en x carrés dans ma dent may dans mon polynôme de deuxième degré il est négatif donc je n'ai pas une parabole en humer une parabole en cloche et qui passe par ces 2 0 1x égales - 1/2 et ex égale un demi est donc là j'ai tout ce qu'il me faut pour étudier le signe de ma dérive et je sais que la dérive et 2f va être négative avant - 1/2 est négative après un demi est positive entre ces deux valeurs donc cela me permet de d'identifier où est ce que j'ai un minimum et où est ce que j'ai un maximum donc j'ai un minimum 1 x égales - 1/2 pourquoi parce que la dérive est négative avant est positive après donc je vais avoir une courbe qui est décroissante donc si je trace la courbe ce que ce à quoi la courbe de f va ressembler ici j'ai une courbe qui est décroissante à avant - 1/2 puis croissante après -1 2 me et aux alentours de 1/2 celle inverse j'ai une fonction qui va être croissantes puis décroissante donc je vais avoir un maximum locale ok donc j'ai un minium local et un maximum locales et j'ai un minimum local qui est au point de coordonner - 1/2 et f2 moins un demi que je vais trouver après et j'ai un maximum locale lorsque x est égal à 1 2000 et maintenant pour répondre à la question donc vu que je j'ai besoin des coordonnées de co2 ces points là je dois aussi trouvé l'ordonné de ces points-là donc l'ordonné de du minimum local il s'agit de f2 - 1/2 qui est égal à - 1/2 fois le à la puissance - 2 - 1/2 au carré ça donne un quart donc moins deux fois un quart qui fait kiffer le à la puissance - 1/2 donc 1 / racines 2e on est d'accord ea la puissance - 1/2 celle inverse de racine 2e dont cave de -1 2 me est égal à moins un sur deux racines 2e et on peut trouver facilement que f 2 1/2 est égal à 1 sur 2 racines 2e quart seul le signe ici à a changé du fait du x qui égala à 1/2 et non moins un demi pour f 2 1/2 ça y est j'ai trouvé la réponse à ce problème et j'aimerais bien la vérifier j'aimerais bien vérifier que j'ai bien un minimum à cet endroit là et un maximum locales à cet endroit là et là je peux m'aider de ma calculatrice que dans laquelle j'ai prérentrée les choses qui nous intéresse donc j'ai prérentrée la fonction f x x e à la puissance monde et 6/4 et j'ai défini ma fenêtre pour x allant de - 3 jusqu'à 3 parce que je sais que c'est au tour de deux héros qui se passe quelque chose et y entre - 0.5 et plus 0.5 car je sais que les minimum et maximum locaux sont assez petits seins des fractions de l'ordre de un quart ou un cinquième environ ok donc traçons la fonction f et on obtient 7 cette courbe suivante donc où effectivement ici en moins un demi 1/2 je vois que j'atteins un minimum local puis un maximum locales et ensuite je pourrai vérifier ici les valeurs de ces de la fonction assez à ces deux points là mais tu peux me croire effectivement on a réussi on a bien réussi à trouver le minimum de f qui a ses coordonnées la et le maximum local de f qui a ses coordonnées la sur la courbe