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Applications de la dérivation

Transcription de la vidéo

j'imagine que tu as déjà entendu parler des radars qu'on pose sur les routes et peut-être même que tu sais comment marche ce ces radars en fait c'est assez simple on place le radar un certain endroit au bord de la route et ce radar live à mesurer la vitesse instantanée d'un véhicule qui passe en un point sur la route à ce niveau là voilà donc si la vitesse instantanée du véhicule qui passe à cet endroit là est supérieure à la vitesse autorisée par exemple 70 km/heure et bien automatiquement une amende sera envoyé au domicile du conducteur alors avec le théorème des accroissements fini on peut imaginer une autre manière de mesurer les excès de vitesse ce qu'on peut faire par exemple c'est au lieu de parler de vitesse instantanée en un point donné on peut reparler de vitesse moyenne entre deux points par exemple je peux mesurer à quelle heure le véhicule passe au point a ici donc par exemple on va dire que le véhicule passe aux points à à 13 heures 13 heures et puis il arrive au point b ici à 13h30 13h30 donc là on peut calculer facilement la vitesse moyenne si on connaît la longueur du tronçon de la route ici entre les békés 40 km on peut calculer facilement la vitesse moyenne du véhicule entre a et b la vitesse moyenne entre a et b c'est la distance qu'il a parcouru / le temps qu'il a mis pour parcourir cette distance alors la distance ici c'est 40 km et le temps c'est une demi heure donc 0.5 heures voilà donc 40 / 05 ça fait 80 km/heure 80 kilomètres par heure alors évidemment cela vitesse moyenne et 80 km car par heure qu'a priori on peut penser que le véhicule a dépassé la vitesse autorisée un certain moment sur le tronçon mais ça ça paraît évident mais c'est pas si évident que ça en fait à démontrer et la police pourrait très bien avoir à faire un conducteur qui est un peu de mauvaise foi et qui va dire non non pas du tout j'ai eu cette vitesse moyenne sur le trajet mais j'ai jamais dépassé 70 km/heure donc dans ce cas là il faudra que la police puisse prouver que effectivement sur le trajet le conducteur a effectivement dépassé la vitesse autorisée alors pour démontrer sa si les policiers sont des mathématiciens averti ce n'est pas toujours le cas eh bien ils pourront invoquer le théorème des accroissements fini alors on va examiner un petit peu la situation de plus près donc je vais faire je vais tracer un repère voilà en abscisse ici je vais mettre le temps mesuré en meurent et puis on leur donnait je vais mettre la position donc que je vais appeler x1 en kilomètres voilà alors ici c'est l'origine de mon repère en fait comme on considère uniquement ce tronçon de route entre a et b eh bien je vais prendre comme origine de la position et des temps le point a ici donc ici c'est le point a et puis je sais que bout d'une demi-heure donc que je vais placer une demi heure ici c'est 05 eur le véhicule sera arrivé au point b qui est située à une distance de 40 kilomètres donc ici c'est b est donc là je peux représenter en fait ici voilà et donc ici ce point-là représente l'endroit et l'instant où se place le véhicule après une demi heure alors maintenant si je trace cette droite là de la traceur jaune si je trace cette droite là en fait c'est une droite qui a pourtant tu 80 km heure puisqu'on à une distance ici une variations désordonnées de 40 km ici c'est 40 km et une variation des abscisses qui est ici d'une demi heure donc la tante de cette droite la pente de cette droite le coefficient directeur eh bien c'est la variations désordonnées 40 sur la variation des abscisses donc c'est effectivement 80 kilomètres/heure alors ça ça représente en fait la situation la plus simple c'est celle où laquelle le véhicule a parcouru tout le tronçon ab à une vitesse constante de 80 km/heure et dans ce cas là effectivement en fait il a été toujours en excès de vitesse donc la question ne se pose pas maintenant effectivement il peut se passer bien d'autres choses par exemple le véhicule pourrait être arrivé au point avec une vitesse plus importante donc avec une pente ici à une tangente comme ça qui serait supérieur à 80 km/heure ensuite en a en s'apercevant de sa vitesse il a pu très bien décélérer mais pour arriver au point b une demi heure après il faut effectivement qu'il ait accéléré encore une fois donc pour arriver en temps et en heure au point b donc ça veut dire que tu vois dans ce cas là ceci je regarde ce point ici en fait ce point là il a une tangente qui est comme ça et qui aura la même pente que la droite jaune donc ici en ce point là on peut être sûr que la vitesse a été égal à 80 km/heure il ya même un autre point où elle est égale à 80 80 km heure c'est par ici là on a une tangente de nouveaux parallèle à la droite jaune donc tu vois que dans ce cas de figure forcément le véhicule a dépassé un moment donné la vitesse autorisée en fait on peut être sûr qu'il ya au moins un moment où il a dépassé la vitesse de 80 km heure où il a été au moins à 80 km/heure voilà donc ça en fait c'est ce qu'assure le théorème des accroissements fini c'est une manière de prouver ce résultat évident mais là c'est prouvé mathématiquement bon évidemment il ya une petite chose qu'il faut vérifier comme toujours en mathématiques quand on utilise un théorème il faut vérifier que les conditions de ce théorème sont vérifiées et en particulier ici le théorème des accroissements fine il ne s'applique que aux cards d'une fonction qui est continu et dérives abl en tout point de l'intervalle qu'on considère alors si c'est toi qui est dans cette situation tu peux toujours essayer de dire ça aux policiers on verra ce qui se passe mais en fait si tu réfléchis bien une fonction position comme celle dont on s'occupe ici et bien elle est forcément continuer forcément dérive à blanc tout point de l'intervalle en fait elle est forcément continue parce que si elle n'était pas ça voudrait dire que par exemple tu commences tu te déplaces de cette manière là et puis tout d'un coup tu as voiture et transporté un autre endroit téléporter un autre endroit ce qui est vraiment pas très probable pro-vie voiture normale et puis de même si tu examine la vitesse à partir du moment où tu d'ex décélère où tu accélères la vitesse va passer d'une valeur à l'autre mais pour ça elle va être obligée de le faire de manière continue donc elle sera obligée de passer par toutes les valeurs possibles entre ta vitesse de départ est à vitesse d'arrivée voilà donc finalement une fonction positions dans l'est dans le cas de notre monde à nous du monde macroscopique et bien c'est une fonction forcément continuer dérive abl donc le théorème des accroissements fini est parfaitement applicable dans ce cas là voilà donc c'était juste une application de ce théorème des accroissements fini pour démontrer précisément quelque chose qui semble assez évident à bientôt