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Théorème des accroissements finis - fonction avec une racine carrée

Applications de la dérivation

Transcription de la vidéo

soit la fonction f défini sur l'intervalle 0,75 plus l'infini par f2i sega la racine carrée de 4x -3 le théorème des accroissements finie assure qu'il existe un point c'est pour lequel f prime de c est égal au taux de variation de la fonction f entre 1 et 3 quelle est la valeur de ces alors avant de répondre à la question on va déjà se rappeler de ce que veut dire cette phrase là le théorème des accroissements finie assure qu'il existe un point c'est pour lequel f prime de c est égal au taux de variation de la fonction f entre 1 et 3 alors pour ça je devais faire un petit dessin ici voilà je mets un repère donc ici les x ici les y la c zéro et puis je vais prendre une échelle donc disons que ici c'est un ici de est ici c'est 3 ensuite je vais pouvoir placer le point de coordonner un f2 un donc f21 je vais le calcul et f 2 1 ses racines carrées de 4 - 3 4 mois 3 ça fait 1 donc f21 est égal à 1 alors je vais mettre une échelle sur l'axé des ordonnées donc ma courbe passe par ce point là et puis f 2 3 f 2 3 alors 4 x 3 ça fait 12 - 3 sauf et 9 racine carrée de 9,7 égale à 3 donc la cour passe par le point de coordonnées alors ici ces deux la c3 et elle passe par le point de coordonnées 3 3 qui est ici voilà et donc entre 1 et 3 la courbe représentatives de la fonction f elle ressemble à quelque chose comme ça bon là je fais vraiment juste un dessin pour comprendre est ce que nous dit le théorème des accroissements phyllis et qu' il existe un point c'est pour lequel f prime de c'est égal au taux de variation de la fonction f entre 1 et 3 alors le taux de variation de la fonction f entre 1 et 3 ça me donne exactement la pente de cette corde qui est ici ça c'est le taux de variation de la fonction f entre 1 et 3 est ce que dit le théorème des accroissements fini c'est que on peut trouver un point de la courbe qui est telle que la tangente en ce point aura exactement cette pente l'a donc par exemple là je vais je vais la trace est comme si on la connaissait mais le but de l'exercice est de savoir exactement où se trouve ce point mais pour bien comprendre je vais faire un dessin ici voilà le théorème des accroissements finie assure qu' il y à un point je vais le noter ici de la courbe pour lequel la tangente à la courbe en ce point là a exactement la même pente que la corde que j'ai tracée ici et la valeur c dont on parle ici est bien celle abscisse de ce point de ce point là où la tangente à la même pente que la corde voilà c'est exactement ce que nous dit le théorème des accroissements fini alors maintenant ce que je vais faire c'est écrire un petit peu les choses donc le trm des accroissements fini nous assure qu'il existe un point c'est pour lequel air prime de c est égal au taux de variation de la fonction entre 1 et 3 ça cf 2 3 - f2 1 / 3 - 1 ça c'est exactement le taux de variation de la fonction f entre 1 et 3 donc on peut le calculer ici eve de 3,7 égale à 3 et f2 est égal à 1 donc au numérateur j'ai 3 - 1 3 - 1 et au dénominateur g3 moins aussi donc finalement cette plante là elle est égale à 1 donc dans notre cas ici le théorème des accroissements fini nous assure qu'il existe un point c'est pour lequel f prime de 7 égal à 1 donc la pente de la tangente à la courbe au point d'abc c est égal à donc nous ce qu'on doit faire maintenant c'est déterminer quel est ce cette valeur c'est alors pour faire ça ce que je peux faire c'est calculé la dérive et de f ensuite comme ça je vais pouvoir obtenir une expression de f prime de ces en remplaçant x par c est grâce à cette relation là j'obtiendrai une équation dont l'un connu sera c'est alors on va faire ça je vais calculé f primes de x pour ça je vais déjà réécrit rêve de x en fait je vais la réécrire un petit peu différemment je vais leur écrire comme ça fdx et 4x -3 élevé à la puissance 1 2 me moi j'aime bien réécrire comme ça puisque ensuite je peux utiliser la règle de dérivation des fonctions puissance et donc est ce prime 2x et bien c'est alors j'ai déjà la dérivée de la fonction puissance 1/2 calculé en 4x -3 donc ça c'est un demi x 4 x -3 élevé à la puissance 1/2 - 1 c'est-à-dire moins un demi x la dérivée de la fonction qui à l'intérieur donc la dérive et de 4x -3 et la dérive et de 4x mois 3 c'est la dérive et de 4x qui est 4 - la dérive est de 3 kg 0 donc ça ça me donne quatre voilà et du coup bon jeu peut simplifier évidemment cette expression l'aef primes de x f primes de x c'est donc alors j'ai quatre fois un demi c'est à dire 2 et ensuite je vais écrire cette expression là en fait cette expression là 4x moins trois puissantes 1/2 ses racines carrées de 4x -3 et comme l'exposant est négatif je dois mettre racine carrée de 4x -3 au dénominateur voilà donc ça c'est la dérive et de la fonction f et maintenant je vais l'évaluer en c1 je vais faire comme si je connaissais c donc ce que j'obtiens c'est que ces deux sur racine carrée de 4 c - 3 donc l'équation que j'obtiens ces deux sur racine carrée de 4 c - 3 égal 1 voilà là j'ai tout simplement réécrit f prime de ces en utilisant cette expression là est remplaçant x par c alors à ce stade là bas on a juste des manipulations algébrique affaire là je vais x racine carrée de 4 c - trois des deux côtés et j'obtiens que deux est égal à racine carrée de 4 c'est moins 3 ensuite je peux élevée au carré les deux membres donc j'obtiens que 4 est égal à 4 c - 3 là je peux ajouter 3 des deux côtés j'obtiens donc 7 est égal à 4 c c'est à dire finalement que c est égale à sept cars 7/4 donc voilà ça c'est la valeur de ses confrères chez en fait je sais que au point d'absys 7/4 et bien la tangente à la courbe va avoir une pente et gala