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Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 5 

Leçon 2: Dérivation d'une fonction composée

La formule de dérivation d'une fonction composée

L'explication de la formule.

Introduction

Si u et v sont deux fonctions, par exemple telles que u(x)=x2 et v(x)=sin(x), on sait calculer la dérivée de leur somme :
Formule :(u(x)+v(x))=u(x)+v(x)
Exemple :(x2+sin(x))=2x+cos(x)
et de leur produit :
Formule :(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x)
Exemple :(x2×sin(x))=2xsin(x)+x2×cos(x)
La dérivée de la composée u suivie de f est :
Formule :(f(u(x))=f(u(x))u(x)
Exemple :[(sinx)2]=2sinxcosx

Pour expliquer cette formule, on utilise un artifice

Attention : Pour les besoins de la cause et pour présenter cet artifice, on obligé d'utiliser la notation d/dx qui signifie "dérivée par rapport à x".
Au lieu d'écrire (x2)=2x, on écrit :
ddx(x2)=2x
Si la variable était a, on écrirait :
dda(a2)=2a
L'artifice est de remplacer x par une fonction. On obtient, par exemple :
dd(sin(x))(sin(x))2=2sin(x)
dd(sin(x)) ne veut rien dire ! Mais si on le multiplie par d(sin(x))dx (qui signifie la dérivée de sin x par rapport à x), alors on peut simplifier par d(sin(x)) et on obtient :
d(sin(x))2d(sin(x))×d(sin(x))dx=ddx(sin(x))2
A priori, mathématiquement cela ne tient pas debout, car "dx" et "d(sin(x))" ne sont ni des nombres, ni des expressions. Pour tenter une justification il faut faire appel à des notions qui dépassent largement le cadre de la question traitée ici. Donc il faut considérer cela comme un moyen mnémotechnique. L'intérêt est que cette écriture de ddx(sin(x))2 permet de trouver la dérivée de (sin(x))2 par rapport à x :
ddx(sin(x))2=d(sin(x))2d(sin(x))×d(sin(x))dx=2sin(x)×cos(x)
Les choses sont beaucoup plus claires si f et u sont des fonctions quelconques et non pas la fonction carrée et la fonction sinus. On obtient la formule qui se lit "la dérivée de f(u(x)) par rapport à x est égale au produit de la dérivée de f par rapport à u par la dérivée de u par rapport à x" :
ddx(f(u(x))=dfdu×dudx

Exemple 1 :

f(x)=sin(x2)u(x)=x2f=sinuf(x)=(dérivée de f par rapport à u)×uf(x)=(dérivée de sinu par rapport à u)×dérivée de x2 par rapport à xf(x)=cosu×2xf(x)=cos(x2)×2x

Exemple 2 :

On va utiliser cette formule pour calculer la dérivée de la fonction |x|, que l'on peut considérer comme une fonction composée car pour tout x réel, |x|=x2. Par exemple, |5|=(5)2=25=5
f(x)=|x|f(x)=x2u(x)=x2f(x)=[u(x)]12f(x)=f(u)×u(x)dfdx=(u12)×(x2)f(x)=12u12×2xf(x)=12(x2)12×2xf(x)=xx2f(x)=x|x|

La dérivée de la composée d'un nombre quelconque de fonctions

La formule s'applique à la composée de plus de deux fonctions. Par exemple, soient A, B, C et D quatre fonctions, et soit f la composée de ces quatre fonctions :
f(x)=A(B(C(D(x)))
Ici encore la notation ddx est très utile. On démontre que :
dfdx=ddxA(B(C(D(x)))=dAdB×dBdC×dCdD×dDdx
f(x) s'écrit :
f(x)=A(B(C(D(X))))×B(C(D(X)))×C(D(X))×D(x)

Exemple 4 :

Soit f la fonction définie par f(x)=sin(ex2+x).
f est la composée des fonctions C, B et A, avec :
A(x)=sinxB(x)=exC(x)=x2+x
Leurs dérivées sont ;
A(x)=cosxB(x)=exC(x)=2x+1
On applique la formule :
f(x)=A(B(C(x)))×B(C(x))×C(x)=cos(ex2+x)×ex2+x×(2x+1)

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