Dérivée d'une fonction composée

alors si tu as vu les vidéos précédentes sur la khan academy tu sais aujourd'hui dérivés pas mal de fonctions les fonctions polynôme les fonctions sinus caussinus logarithme exponentielle et puis toutes les sommes et les produits ou les quotients les différences de ses fonctions c'est déjà pas mal mais ça ne suffit pas parce qu'on rencontre très souvent des fonctions plus compliqué que ça comme celle là par exemple h2x égale cygnus x élevée au carré alors ça c'est une fonction compose elle est composée de la fonction sinus et de la fonction carré et donc ce qu'on va faire dans un cas plus générale c'est voir comment est ce qu'on peut en général dérivés une fonction composé alors je vais prendre ici deux fonctions eu et v et puis je vais m'intéresser à la composent et de ses deux fonctions quand elles existent donc c'est une fonction que je vais appeler f&f 2x c'est donc une de fait de x je vais faire c'est partir de l'expression du nombre d'arrivées de f en un point d'abc 6-0 ce nombre-là le nombre dérivés de f au point d'abc 6-0 cf primes de x 0 et c'est la limite du taux de variation de la fonction fo au point d'abc 6 0 donc en fait c'est la limite quand x 120 x 0 2 f 2 x quand eve 2 x - grand f 2 x 0 / x moins que zéro alors tu es peut-être habituel annotations avec des x + hb et ainsi de suite en fait ça c'est juste une notation l'idée exactement la même c'est qu'on calcule la pente de la tangente en partant d'une corde et en faisant entendre cette corde à la tangente à la courbe au point d'abc 6 0 alors ce taux de variation je peux l'exprimer évidemment en fonction de huê vais en fait ça va être ça la limite quand x temps vers x0 de u2 v2x moins une de v2x 0 le tout divisé par x - x 0 travailler un peu sur cette expression la pente de la corde du coup et je vais faire quelques changements de variables je veux dire que y est égal à v2x et que y 0 est égale avait 2 x 0 du coup ce taux de variation là je vais le faire je verrai écrire tout ça en faisant intervenir ces changements donc ça c'est le taux de variation de la fonction grand f au point d'abc 6 0 et en fait ça s'est vu ii y moins une de y 0 / x - x 0 alors maintenant je vais faire apparaître la différence y moins y 0 tout simplement ce que je vais faire c'est que je vais réécrire ce taux de variation comme ça u2 y - u2 y 0 / y moins y 0 et puis je vais x y moins y 0 et ensuite il faut donc que je divise par x - x 0 là j'ai rien changé puisque j'ai multiplié en fait par y moi y 0 sur y moi y sont alors ce qui est intéressant ici c'est que on peut reconnaître dans ce terme là le taux de variation de la fonction sûrs contre le point d'apsys y est le point d'absys y 0 et puis ici ce terme là y moins y 0 sur 6 mois x euros en fait c'est le taux de variation de la fonction v contre le point d'apsys x et le point d'abc 6 0 plus précisément si tu veux je peux le réécrire en fait avec les notations qu'on m'a défini cv 2x moins v2x 0 sur x - x 0 donc tu vois c'est vraiment le taux de variation devait entre les points d'apsys x et x 0 alors nous on doit chercher la limite de ce taux de variation là quand x temps vers x 0 et quand x temps vers x 0 ce qu'on peut remarquer ce que y tend vers y zéro puisque v2x tend vers v2x 0 donc y tend vers y 0 ce qui veut dire que ce taux de variation la vais l'appeler t je vais l'appeler comme ça tu es eu entre y est y 0 et bien quand je passe à la limite donc limites quand x temps vers x 0 2 t2 eu y/y 0 donc je fais tendre ici x60 ce qui revient à faire tendre y est y 0 donc j'obtiens la limite ici de ce taux de variation quand y tend à y 0 et en fait cette limite c'est le nombre dérivés de eu calculé au point d'absys y 0 donc c'est une prime de y 0 et en fait y 0 cv 2 x 0 donc finalement c'est une prime de v2x 0 la limite quand x 120 x 0 2 ce taux de variation là donc je vais faire ça c'est la limite quand x d'anvers x0 du taux de variation devait entre les points d'apsys x et x 0 et bien cette limite par définition c'est le nombre d'arrivées devez calculer au point d'absys x 0 donc finalement on arrive à une formule qui est très pratique c'est celle qu'on va utiliser tout le temps quand on doit dérivés une fonction composer c'est que la dérive et de u2 v2x la dérive et de u2 v2x que j'écris comme ça et bien c'est une prime devait de x x v prime 2 x voilà ça c'est la formule de dérivation d'une fonction composer alors on va revenir à notre exemple h2x égale cygnus x élevée au carré et on va appliquer notre formule donc ici je vais poser v2x qui est égal asinus x et u2 x qui est égal à x élevée au carré donc avec ces deux fonctions là h2x et bien c'est une devait de x voilà et donc maintenant je vais appliquer cette formule h primes de x c'est vrai prime 2 x x eu prime-2 v2x alors il faut maintenant calculer les dérivés v primes de x donc wc la fonction cygnus x dont des primes de x c'est caussinus x et puis u2 x c'est la fonction x élevée au carré la fonction car est donc on connaît sa dérivée eu primes de x ces 2 x et donc maintenant je vais reprendre cette formule là en faisant ces remplacements h primes de x cv primes de x c'est-à-dire caussinus x x alors j'ai eu prime devait de x une prime de v2x ces deux fois v2x c'est à dire deux fois cygnus x l'âge est pratiquement terminée je verrai organisé un petit peu le résultat hb primes de x et deux fois caussinus x sinus x