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Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 5 

Leçon 2: Dérivation d'une fonction composée

La dérivée de sin(ln(x²))

Le calcul de la dérivée de la fonction f : x ↦sin(ln(x²)) en utilisant deux fois la formule de dérivation des fonctions composées. f est en effet la fonction composée x ↦x² suivie de la fonction x ↦ln(x) suivie de la fonction x ↦sin(x). Un calcul demandant de la rigueur. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors je te donne cette fonction-là qui est définie par f 2 x égale sinus de logarithmes naturel de x au carré alors quand on a une fonction évidemment le premier réflexe c'est de regarder pour quelle valeur de xl est définie ici je te laisse vérifier que cette fonction-là est définie pour toutes les valeurs de x qui sont différentes 0 est ce qu'on va faire c'est essayer de calculer la dérive et de cette fonction alors tu m'a souvent entendu dire qu avant de dériver une fonction il fallait bien faire l'effort de voir comment est-ce qu'elle était fabriqué cette fonction effectivement ça c'est une étape très importante mais il faut pas non plus se lancer dans des structures très compliqué et ici ce qu'on va voir c'est intéressant parce qu'en fait si on regarde cette fonction là on peut voir qu'elle est composée en fait de trois fonctions d'abord on prend un nombre x et on calcule x au carré donc on a une première fonction ensuite on calcule le logarithme 2 x o car est donc une deuxième fonction et puis enfin on calcule le sinus de logarithmes 2x au carré donc effectivement c'est une composée de trois fonctions et en fait pour calculer sa dérive et on va uniquement la considérer comme une composition de deux fonctions alors je vais définir la première fonction qu'ils aient eu 2 x égale logarithme 2x au carré et puis la deuxième fonction cv 2 x qui est égal asinus de xc la fonction sinus et donc avec ces notations la f2 x je peux l'écrire comme v de u2 x v de u2 x pour dériver cette fonction là je vais appliquer la règle de dérivation des fonctions composer ça va me donner f primes de x égale une prime de x x v prime v prime la dérive et de devez calculer en u 2 x réprime de pus de x voilà donc il faut que je calcule une prime et v prime alors une prime de x la dérive et de logarithmes 2x au carré il faut d'abord que je dérive x au carré donc ça c'est la dérive et 2x caresser 2x et ensuite je multiplie par la dérive et de logarithmes calculé en eut deux x donc la dérive et de l'eau garric de xc 1 sur x et là je vais calculer cette dérive et non pas en x mais en x au carré donc ça me donne un sur x au carré je vois que là en fait implicitement j'applique une nouvelle fois la règle de dérivation des fonctions composer et du coup le là je peux simplifier cette écriture ça me donne deux sur x voilà ça c'est la dérive et de u et puis je maintenant la dérive et de vpv prime c'est la dérive et de sinus qui est égal à caussinus de x donc finalement f primes de x et bien c'est donc une prime de x x v prime de u2 x c'est-à-dire 2 sur x x v prime de u2 x donc caussinus de logarithmes de l'x au carré caussinus de logarithmes 2x au carré voilà ça peut surprendre puisque on a dit au départ que cette fonction f était une composée de trois fonctions et ici en fait on la considérait comme une composée de deux fonctions hué vais mais je te rappelle qu'à cette étape là où on a calculé eu prime on a aussi considéré que hu était une fonction composer et on a appliqué la règle de dérivation des fonctions composer rapidement sans même s'en rendre compte mais donc tu vois que c'est cohérent on a une fonction qui est composé de trois fonctions et même si on le fait sans s'en rendre compte on applique deux fois la règle de dérivation des fonctions composer