If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 5 

Leçon 2: Dérivation d'une fonction composée

Exemple : dérivée de cos³(x) à l'aide de la formule de dérivation d'une fonction composée

f(x)=cos³(x) est la composée des fonctions x³ et cos(x). On peut donc calculer sa dérivée en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va s'entraîner à dériver des fonctions et notamment ici des fonctions composé alors disons qu'on a cette fonction la f2 x égal caussinus 2x élevé à la puissance 3 voilà alors ça on peut aussi l'écrire comme ça si tu veut peut-être que ce sera un peu plus clair caussinus de x comme je l'aï dit tout à l'heure élevé à la puissance 3 donc ça c'est deux écritures complètement équivalente et bon ce qu'on cherche à faire c'est à calculer la dérive et f prime 2 x alors la première chose évidemment c'est de reconnaître qu'ici on va faire une fonction de composer et donc qu'on va pouvoir utiliser la formule de dérivation des fonctions composer alors pour être sûr de bien comprendre que là en fait on a affaire à une fonction composer je vais vraiment décomposer les opérations qu'on fait pour calculer f 2 x 1 donc je pars d'une variable x d'un nombre x est ce que je fais d'abord c'est calculé le cosinus de ce nombre-là donc en fait j'ai une première fonction si on veut qu'ils me donnent le cosinus de ce nombre là donc je mets le x dans une boîte qui est la boîte caussinus et ça me donne un autre nombre qui est le cosinus 2x caussinus de x et puis avec ce caussinus de ligue ce n'est pas terminé puisque en fait ce que je fais c'est calculé le cube de ce caussinus 2x donc élevé le cosinus x occupe ça ça revient à mettre cette valeur là dans une autre fonction qui est la fonction cube j'écris comme ça donc c'est le fait d'élever ^ 3 ça c'est notre notre fonction est ce que j'obtiens donc c'est caussinus x caussinus x élevé à la puissance 3 tu comprends bien en fait l'enchaînement qu'on fait pour passer de la variable x au calcul de fgx d'abord on calcule l'image de x par une première fonction alors cette première fonction je peux l'appeler eu voilà et puis ensuite on calcule l'image d'une autre résultat donc de l'image de x par la fonction huron calcule ensuite l'image de ce résultat par une autre fonction que j'appelle v et qui est donc la fonction cube donc ici la fonction eu quand je calcule de x eh bien ça me donne le cosinus de x et puis la fonction wc la fonction cube donc si je calcule v2x et bien ça ça revient à calculer x élevé à la puissance 3 x au cube et de cette manière là ce que je peux faire c'est écrire f 2 x comme ça f 2 x et bien cv non pas 2 x mais de cosinus x et comme continues sic c'est bien c'est u2 x je peux écrire finalement que f 2 x et bien c'est fait 2 u2 x v 2 us 2 x et là donc il est très clair que c'est une fonction composé on calcule à partir de x d'abord le cosinus 2x et puis ensuite on élève se caussinus x au cube donc ça revient d'abord à calculer eu 2 x puis v de u2 x alors dans ce cas là on connaît la formule de dérivation des fonctions composer je vais là rappeler ici f primes de x dans le cas de cette fonction là et bien cv prime calculé en u de x v primes calculés en eut deux x multiplier x une prime de x alors dans cette formule là ici il ya quelque chose qu'elle il faut bien faire attention c'est que on a donc la dérive et devait primer la dérivée du prime la dérivée du prime elle est calculée en x par contre la dérive et devait prime qui est là et bien menée elle n'est pas calculé au x elle est calculée en u 2 x alors maintenant que j'ai fait cette petite parenthèse je vais calculé eu primes de x et v primes de x donc une prime de x eh bien c'est la dérive et de cosinus x et ça on sait que c'est moins cygnus x ensuite v prime alors la dérive et devait un cv prime je la calculant x ici eh bien c'est la dérive et 2x puissance 3 donc ces 3 x oka alors maintenant on va appliquer notre formule j'aurais pu l'encadré c'est celle là cette formule là que tu retrouves ton cour ou dans n'importe quel livre de cours est donc ce que je vais faire ici ses calculs et donc j'y vais prime alors il faut faire attention cv prime de u2 x alors ici gx et tu vois que quand le calcul des primes de x j'ai 3 x au carré donc si je calcul des primes de u2 x v prime de u2 x v prime de u2 x sera égal à 3 fois u2 x élevée au carré je l'écris comme ça trois fois u2 x élevée au carré ou alors je pourrais écrire aussi comme ça trois fouilles eu 2 x au carré 3 x 2 x au carré donc ici j'ai fait preen de u2 x et u2 xc caussinus x a donc finalement j'ai fait prime de cosinus xx x une prime de x une prime de x et une prime de x on a vu que c'était moins s'unit 6 donc je vais l'écrire comme ça ici c'est donc x - cygnus x alors je vais continuer donc ça finalement c'est égal avait prime de cosinus xo on a bien vu ici que fait prime de u2 x et trois fois u2 x o car est donc ici en fait j'ai trois fois u2 x qui est égal à caussinus x au carré je l'écris comme ça et donc je multiplie sa part - sinus x alors là on est presque au bout de nos peines en fait je vais réorganiser ça un petit peu donc j'ai un 3-1 - ici donc je vais écrire c'est jacques c - 3 x cygnus x x caussinus x au carré voilà je peut réécrire ça comme ça sans les signes - -3 sinus x x sinus 2x élevée au carré voilà et donc ça c'est notre f primes de x et la clé bien c'était de bien comprendre de quoi est composé notre fonction de bien voir que c'est une fonction composer et de bien comprendre de quelles fonctions il s'agit donc de bien déterminer hué v puis eu prime védrine et enfin de calculer les primes non pas en x mais en q2 x