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Terminale spécialité math

Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 5 

Leçon 1: Fonctions composées
Mathématiques
Terminale spécialité math
Compléments sur la dérivation
Fonctions composées
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Fonctions composées

Google Classroom
À travers divers exemples apprendre à définir une fonction composée.
Soit une fonction g dont l'ensemble de définition est A et l'ensemble image B. Et soit une fonction f dont l'ensemble de définition est B et l'ensemble image C. Si x a comme image y par la fonction g et si y a comme image z par la fonction f, on peut imaginer la fonction qui à x fait correspondre z. Cette fonction s'appelle la composée de g suivie de f. On a y=g(x) et z=f(y), donc z=f(g(x)).

Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée

Exemple

f et g sont telles que f(x)=3x−1 et g(x)=x3+2. Calculer f(g(3)).

Réponse

Il faut toujours calculer d'abord ce qui est dans les parenthèses intérieures. Ici, on calcule d'abord g(3).
Le calcul de g(3) :
g(x)=x3+2g(3)=33+2                   =29
g(3)=29, donc f(g(3))=f(29).
Le calcul de f(29) :
f(x)=3x−1f(29)=3×29−1               =86
Donc f(g(3))=f(29)=86.

L'expression de la fonction composée

Dans cet exemple, l'image de 3 par la fonction g est 29 et l'image de 29 par la fonction f est 86. On veut écrire la fonction "g suivie de f" qui à 3 fait correspondre 86.
On veut donc établir l'expression de la fonction composée g suivie de f, c'est-à-dire f(g(x)).

Exemple

Quelle est l'expression de f(g(x)) ?
si f(x)=3x−1 et g(x)=x3+2.

Réponse

f(g(x)) est l'image de g(x) par la fonction f. Donc on remplace x par g(x) dans l'expression de f.
f(x)=3x−1f(g(x))=3g(x)−1
g(x)=x3+2, donc on remplace g(x) par x3+2.
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5
On vérifie si l'image de 3 par cette fonction est bien 86.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3×33+5=86
Parfait !

À vous !

Exercice 1

f(x)=3x−1
g(x)=x3+2
Calculer g(f(1)).
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 2

m(x)=3x−2
n(x)=x+4
Expliciter m(n(x)).
 

Fonction composée : définition

Dans l'exemple ci-dessus, on a explicité une fonction composée.
La fonction composée g suivie de f est notée f∘g, ce qui se lit "f rond g", et par définition :
(f∘g)(x)=f(g(x))
Ce schéma permet de bien visualiser que f(g(x)) est l'image de x par la fonction f∘g.
Voici un autre exemple.

Exemple

g(x)=x+4
h(x)=x2−2x
Expliciter (h∘g)(x) et calculer (h∘g)(−2).

Réponse

On explicite (h∘g)(x) :
(h∘g)(x)=h(g(x))Par définition.=(g(x))2−2(g(x))On remplace x par g(x) dans l’expression de h.=(x+4)2−2(x+4)car g(x)= x+4.=x2+8x+16−2x−8On développe.=x2+6x+8
On connaît l'expression de la fonction h∘g, donc pour calculer (h∘g)(−2), on remplace x par −2.
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6×(−2)+8=4−12+8=0
Pour calculer la valeur de (h∘g)(−2), on peut aussi calculer directement h(g(−2)) :
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)        car g(−2)=−2+4=2=0             car h(2)=22−2×2=0
Ce schéma permet de visualiser (h∘g)(−2) et h(g(−2)) :
L'image de −2 par g est 2, puis l'image de 2 par h est 0. L'image de −2 par g suivie de h, c'est à dire par h∘g est 0.

À vous !

Exercice 3

f(x)=3x−5
g(x)=3−2x
Calculer (g∘f)(3).
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Dans les deux exercices ci-dessous, f(t)=t−2 et g(t)=t2+5.

Exercice 4

Expliciter (g∘f)(t).
 

Exercice 5

Expliciter (f∘g)(t).
 

Un dernier exercice

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g :
Par lecture graphique, on obtient que (f∘g)(8) est égal à :
Choisissez une seule réponse :

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  • primosaur seedling style l'avatar de l’utilisateur Lexe Koshka
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Lexe Koshka «Bonjour , je ne comprend ... »
    Bonjour , je ne comprend pas un calcul dans l'exemple de la fonction composée : ​​f (g(x)) ​​​​​​​​​= 3 (g(x)) −1 on remplace g(x) par x^3 +2 , donc f(g(x)) = 3x^3 +2 -1 ce qui donne pour moi 3x^3 + 1 alors que vous avez trouvé 3x^3 + 6 - 1 ? Comment êtes vous passé de +2 à + 6 ? Désoler si ma question est bête mais je ne comprend pas, merci de votre aide !
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Bonjour; Attention, ce qu ... »
      Bonjour; Attention, ce que vous dites serait vrai si g(x) était égal à x^3. Ici g(x) = x^3 + 2, donc f(g(x)) = 3g(x) - 1 = 3(x^3 + 2) - 1 = 3x^3 + 6 - 1
      Il y a une erreur dans cette leçon car la parenthèse autour de x^3 + 2 a été omise.
      L'erreur va être corrigée.
      (2 votes)
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