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Définir la composée de deux fonctions

Apprendre comment composer deux fonctions grâce à un exemple concret inspiré du travail agricole.

Roland est agriculteur. Chaque année il cultive du maïs. Sa production est représentée par une fonction C, qui donne sa récolte, en kg, en fonction de la surface cultivée, a, en hectares.
C(a)=7 500a1 500
S'il cultive 2 hectares, par exemple, il produira C(2)=7 500×21 500=13 500 kg de maïs.
Ce qui l'intéresse maintenant c'est de savoir combien lui rapportera la vente de sa récolte. Il utilise donc une fonction, M, qui donne son revenu, en euros, en fonction de la masse de maïs vendue, c, en kg.
M(c)=0,9c50
Donc s'il produit 13 500 kg de blé, son revenu sera M(13 500)=0,9×13 50050=12 100 €.
Roland a donc besoin de deux fonctions distinctes pour évaluer son revenu en fonction de la surface cultivée. Une première fonction, C, qui aux hectares cultivés fait correspondre une production en kilogrammes et une deuxième fonction, M, qui aux kilogrammes récoltés fait correspondre un gain en euros.
Peut-on définir une fonction qui au nombre d'hectares cultivés fait correspondre directement le revenu de Roland ?

On définit une nouvelle fonction

On peut effectivement écrire la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre directement le revenu de la vente de la production ! Pour cela, une question primordiale : Combien Roland devrait-il gagner en cultivant a hectares de terre ?
Si Roland cultive a hectares, il produira C(a) kilo de maïs. Et s'il produit C(a) kilo de maïs, il gagnera M(C(a)) euros.
Pour avoir la fonction qui a a hectares fait correspondre le revenu en euros, il suffit d'expliciter M(C(a)).
Mais comment faire ? L'écriture M(C(a)), signifie que par la fonction M, on a l'image de C(a). Il faut donc remplacer c par C(a) dans l'expression de M.
M(c)=0,9c50M(C(a))=0,9(C(a))50=0,9(7500a1500)50          car C(a)=7500a1500=6750a135050=6750a1400
Donc la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre le revenu de Roland, est définie par M(C(a))=6750a1400. Essayons, avec deux hectares cultivés, de savoir ce que gagnera Roland :
M(C(2))=6 750×21 400=12 100 
On a obtenu 12 100 , c'est bien le bon résultat !

La fonction obtenue est la fonction composée C suivie de M

La fonction que l'on vient d'obtenir est appelée une fonction composée. Connaissant le nombre d'hectares cultivés en blé, cette fonction a permis de calculer directement le revenu correspondant au lieu d'utiliser une première fonction pour calculer la récolte de blé, puis une deuxième fonction pour calculer le revenu procuré par cette récolte.
Pour cela, on a établi l'expression de M(C(a)). Cette fonction composée est notée MC, qui se lit "M rond C" ou "C suivie de M".
Par définition (MC)(a)=M(C(a)).

Un schéma pour bien comprendre

Voici un schéma :
Si on utilise la fonction C, puis la fonction M, alors l'image de 2 par la fonction C est 13 500, et l'image de 13 500 par la fonction M est 12 100 .
Si on utilise la fonction MC, alors on obtient directement que l'image de 2 est 12 100 .
On obtient le même résultat par les deux méthodes.

À vous !

Exercice 1

Si Roland, l'agriculteur de l'exemple ci-dessus, cultive du blé sur 1,5 ha, quel revenu en tirera-t-il ?
Rappel : C(a)=7500a1500, M(c)=0,9c50 et M(C(a))=6750a1400
En cultivant 1,5 ha, Roland gagnera
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
€.

Exercice 2

Ben est producteur de pommes de terre. La fonction P qui à la surface cultivée, a, en hectares, fait correspondre sa récolte en kg, est définie par P(a)=25 000a1000 et la fonction M qui à la production de p kg de pommes de terre fait correspondre le revenu qu'il en tire est définie par M(p)=0,2p200.
Combien Ben gagnera-t-il s'il vend une production de 3 ha de pommes de terre ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 3

Quelle expression donne directement le revenu en fonction de a, la surface de pommes de terre cultivée ?
Choisissez une seule réponse :

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