Identifier la courbe représentative d'une fonction rationnelle en utilisant ses points d'intersection avec l'axe des abscisses

soit la fonction f défini par f2i xga 2x au carré - 18 / g2x ou g est une fonction polynôme laquelle de ces courbes peut être sa courbe représentative on nous dit que les droits dans pointillés sont les asymptote donc on doit choisir parmi ces quatre possibilités une courbe qui pourrait être la courbe représentative de cette fonction alors à toi de jouer mais la vidéo sur pause et essaye de voir comment tu peux faire ça donc maintenant que tu as réfléchit on va le faire ensemble alors effectivement on n'a pas beaucoup d'indications c'est une fonction rationnelle mais on connaît pas ce sont dénominateur donc en particulier on connaît pas son domaine de définition ce qui est quand même quelque chose dans btan et en fait la seule chose qu'on connaît c'est le numérateur de cette fonction 2x au carré -18 donc on va essayer de travailler ça alors en fait ce numérateur il peut nous donner des indications sur notamment les héros de la fonction donc les valeurs en lesquelles la fonction est égal à zéro les valeurs qui annule la fonction et pour trouver ces valeurs en fait ce que je vais faire c'est factoriser le numérateur donc je vais réécrire f 2 x en favorisant numérateur donc j'ai déjà deux qui est un facteur commun aux deux termes je vais le mettre en facteur donc ces deux fois x au carré - 9 le tout divisé donc par ce fameux polynôme g2x dans la parenthèse je reconnais différence de carré donc ça c'est en fait x moins trois facteurs de x + 3 donc finalement f je peux l'écrire comme ça c'est deux fois x moins trois facteurs de x + 3 le tout divisé par g2x voilà priori quand on écrit quelque chose comme ça les valeurs qui annule le numérateur ce sont peut-être des zéros de la fonction ce qui veut dire que ici x égal 3 qui annule ce facteur 6 et puis x égal moins trois qui annule ce facteur là sont des valeurs qui annule le numérateur et donc ce sont des potentiels 0 de la fonction donc a priori on aurait envie de dire que ces deux valeurs là sont des héros de la fonction on n'est pas complètement sûr de ça on peut pas vraiment dire tout de suite parce que ici on n'a aucune indication sur g2x ans en fait ce polynôme là pour échanger quelque chose à cette situation là alors on va déjà su utiliser ça on va regarder si dans les 4 propositions qui sont donnés ici il y en a une qui a des 0 en 3 et en moins trois donc qui s'annulent en 3 et en moins 3 alors ici la première possibilité il ya effectivement 0 en 3 puisque af23 ici est égal à zéro par contre c'est un peu perturbant parce que ici on a une asymptote verticale pour x égal moins 3 donc ça c'est un petit peu perturbant je vais je sais pas très bien on va laisser comme ça pour l'instant ensuite le choix b alors on a effectivement ici pour eric segal 3f est égal à zéro donc ça pourrait être ce qu'on a dit tout à l'heure mais par contre ici pour x égal moins 3 vient il ne se passe rien de particulier ici la fonction est définie pour rixes et gagnent moins 3 donc voilà ça c'est un peu perturbant aussi je sais pas trop quoi en dire pour l'instant c'est pas une possibilité exclu mais c'est pas forcément celle là la meilleure alors on va regarder le choix c'est maintenant donc on a ici une fonction qui n'est pas défini pour x égal 3 mais qui pourrait être prolongé par continuité en ce point là et puis ici pour x égal moins 3 rien de spécial ne se passe la fonction est définie tout à fait normalement bon alors dans la dernière possibilité là d ici on a des zéros qui sont les valeurs moins 6 et 6 on a une asymptote horizontal et une asymptote verticale donc ça je sais pas trop quoi en dire pour l'instant alors on va réfléchir un petit peu à ce qui se passe ce qui peut se passer en fait ici on a des candidats potentiels pour les héros mais ce que j'ai dit tout à l'heure c'est que c'était pas forcément des 0 alors pourquoi j'ai dit ça parce qu'en fait le polynôme g2x pourrait avoir un facteur égal à x - 3 par exemple lors je vais je vais prendre quelques exemples pour fixer les idées admettons que la fonction f 2 x elle s'écrit comme ça c'est un premier cas possibles on va l'écrire comme ça c'est deux fois x - 3 sur x + 3 ça c'est notre numérateur et puis au dénominateur je vais prendre par exemple pour g2x ce polynôme la x + 1 dans ce cas là effectivement notre fonction est définie pour x égal 3 et xml moins trois essais deux valeurs là sont effectivement des héros de la fonction puisque elle est définie et elle ça nulle en ces valeurs là donc dans ce cas là on aurait effectivement 2 0 y'a aucun cas ici qui correspond à cette situation là donc il faut qu'on réfléchisse un peu plus que ça alors qu'est ce qui pourrait se passer on pourrait avoir au dénominateur quelque chose comme ça alors je vais leur écrire donc le numérateur ces 2 x 2 x x - 3 x x + 3 et puis au dénominateur je pourrais avoir disons par exemple x - 3 facteur 2 x + 1 quelque chose comme ça en tout cas un polynôme qui a pour facteurs le polynomics -3 et dans ce cas là tu vois qu'on pourrait simplifier l'expression en divisant par x - 3 ce qui veut dire qu'on aurait un zéro qui serait x égal moins trois donc ça serait 1 0 et puis un point x égal 3 pour lequel on pourrait prolonger par continuité donc un point un prolongement par continuité l'écrit comme ça alors là j'ai pris l'exemple où le facteur commun au numérateur et le dénominateur cx -3 ça pourrait être aussi x + 3 donc dans ce cas là le zéro serait moins 3 est le prolongement par continuité serait en x égal 3 vous pourrez aussi imaginer que le numérateur soit x mois 3 x x + 3 par exemple fois un autre polynôme est donc dans ce cas là on aurait aucun 0 mais deux prolongements par continuité en x égal 3 et x et gamma -3 voilà et puis il ya encore une autre situation qui est possible c'est celle ci par exemple si tu peux imaginer que f 2 x soit égale à deux fois x - 3 x x + 3 là je n'ai rien changé et puis au dénominateur je pourrais très bien avoir quelque chose comme ça x - 3 au carré facteur 2 x + 1 par exemple et dans ce cas là tu vois que l'on pourrait aussi simplifié divisé en haut et en bas par le polynomics -3 donc ici on aurait plus que x moins trois ans facteur au dénominateur et dans ce cas là on aurait un zéro la valeur x égal moins 3 donc ça serait 1 0 ici pour x égal moins 3 puis une asymptote verticale une asymptote verticales d'équations x égal 3 fonction n'est pas défini en x égal 3 voilà donc à la lumière de ce qu'on vient de dire ici de ces trois situations possibles on va réexaminer nos courbes donc la première alors dans la première on a dit qu'il y avait 1 0 pour x égal 3 ici et puis une asymptote verticale qui est celle ci qui est pour équation x égal moins 3 donc ça c'est tout à fait possible ça correspondrait à cette situation ici où on a 1 0 et une asymptote verticale alors évidemment tout à l'heure j'avais pris l'exemple du polynomics moins trois contacts hors is est ici mais j'aurais pu faire ce travail là avec le polynomics plus croire en tout cas c'était pour mettre en avant le fait qu'il pouvait y avoir 1 0 et une asymptote verticale ce qui est cas ici on a 1 0 pour x égal 3 et une asymptote verticale d'équations x égal moins trois donc ça c'est tout à fait possible la possibilité b donc on a ce zéro pour x égal 3 par contre pour x égal moins trois la fonction est défini il n'y a aucune asymptote et pas de zéro non plus donc ça c'est pas possible c'est là je peut l'éliminer ensuite ici alors pour x égal 3 on a un prolongement par continuité la fonction pourrait être prolongé par continuité ici en x égal 3 donc ça c'est cohérent avec cette possibilité-là la deuxième situation qu'on a mis en avant tout à l'heure et puis il ya aussi une asymptote verticale voilà qui est celle ci mais est là pour l'équation x égales - 2 effectivement c'est pas exclu le polynôme g2x pourrait avoir le facteur x + 2 ça c'est tout à fait possible on aurait effectivement une asymptote ici mais par contre ce qui est embêtant et qui va nous permettre d'éliminer cette proposition là c'est que rien ne se passe pour x égal moins 3 la fonction est définie on ne nous dit pas qu'elle est prolongeable par continuité comme c'était le cas ici pour x égal 3 donc je vais pouvoir éliminer cette possibilité là puisque ici on n'a pas signifié une discontinuité en x égal moins 3 alors il nous reste sept dernières possibilités en fait celle là est la 2 0 en x également 1 600 x égal si c'est en fait ça on pouvait l'éliminer dès le départ puisque si notre fonction f à des zéros et bien c'est forcément x égal 3 et x et gamma -3 et pas ailleurs donc ça on peut la supprimer voilà donc finalement la bonne solution la seule possible c'est celle là la courbe à