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Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 7

Leçon 1: Les fonctions logarithmes

Les propriétés du logarithme

Les propriétés du logarithme et des exemples d'application.


Produit	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Quotient	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Puissance	$\log_{b} (M^{p}) = p \times \log_{b} (M)$ ‍

Ces égalités sont vraies pour tout

M

N

b

pour lesquels le logarithme est défini, c'est-à-dire pour tout

M

N > 0

et tout

0 < b \neq 1

Prérequis :

Vous devez savoir ce qu'est un logarithme. Si ce n'est pas le cas, cliquez ici.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur trois propriétés des logarithmes.

On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

Le logarithme d'un produit : $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.

M = 4

N = 8

b = 2

, alors d'après la propriété du logarithme d'un produit,

\log_{2} (4 \times 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Le calcul qui suit permet de vérifier la propriété dans ce cas précis :

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \times 8) & = o u \neq \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = o u \neq \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & car 4 \times 8 = 32 \\ 5 & = o u \neq 2 + 3 \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

Attention, ce n'est qu'une vérification dans un cas particulier et en aucun cas une démonstration de la propriété.

On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant sous forme de somme.

Développer

\log_{6} (5 y)

5 y

est le produit de

5

par

y

. D'après la propriété du logarithme d'un produit :

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \times y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) \end{aligned}

Exemple : Réduire

Réduire une somme de logarithmes en l'écrivant sous la forme d'un seul logarithme.

Réduire

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

Comme les deux logarithmes ont la même base,

3

, on peut utiliser la propriété du logarithme d'un produit, dans l'autre sens :

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \times x) \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un produit, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.

Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un produit pour réduire

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

À vous !

1) Développer $\log_{2} (3 a)$ ‍.

2) Réduire $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍.

Le logarithme d'un quotient : $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes de ses deux termes.

M = 81

N = 3

b = 3

, alors d'après la propriété du logarithme d'un quotient,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

Le calcul qui suit permet de vérifier la propriété dans ce cas précis :

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & car 81 \div 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

Attention, ce n'est qu'une vérification dans un cas particulier et en aucun cas une démonstration de la propriété.

On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer en utilisant la formule du quotient

Développer

\log_{7} (\frac{a}{2})

en l'écrivant sous forme de différence de logarithmes.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) \end{aligned}

Exemple : Réduire en utilisant la formule du quotient

Réduire

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Comme les deux logarithmes ont la même base,

4

, on peut appliquer la propriété du logarithme d'un quotient, dans l'autre sens :

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un quotient, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.

Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un quotient pour réduire

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

À vous !

3) Développer $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍.

4) Réduire $\log (3 z) - \log (8)$ ‍.

Le logarithme d'une puissance : $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base.

On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant comme multiple d'un autre logarithme.

Développer

\log_{2} (x^{3})

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \times \log_{2} (x) \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

Exemple : Réduire

Réduire un multiple d'un logarithme en l'écrivant sous forme d'un logarithme seul .

Réduire

4 \log_{5} (2)

D'après la propriété du logarithme d'une puissance :

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

À vous !

5) Développer $\log_{7} (x^{5})$ ‍.

6) Réduire $6 \ln (y)$ ‍.

Un dernier exercice

Dans ces exercices, il faudra utiliser successivement plusieurs propriétés.

7) $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍ est égal à :

8) $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍ est égal à :

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buatoispierre
Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de buatoispierre «merci mais j ai eu du mal ... »
merci mais j ai eu du mal à utiliser les symboles la premiere fois qui apparaissent en bas de l exercice
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(1 vote)
Réponse
carlo
Posté il y a il y a 2 mois. Lien direct vers le message de carlo «c'est de quel niveau ces ... »
c'est de quel niveau ces exos?, il y a marqué 6 -ème année secondaire, mais en France je n'ai jamais vu les logarithmes en 6ème du collège. Après, le formateur quelques fois, il parle faire des math à la RECRE, je suppose que c'est du collège qu'il parle, car au lycée on va en intercours pas à la récré pour jouer au loup
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(1 vote)
Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a 2 mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, La partie "Maths ... »
  Bonjour,
  La partie "Maths" du site Khan Academy francophone est constituée de 3 arborescences.
  Il y a l'accès :
  - par parties : selon les domaines de maths : géométrie/algèbre/statistiques...
  - classes belges : qui suit le programme de Belgique francophone. En secondaire, on commence en 1ère (12 ans) et on finit en 6ème (18 ans).
  - classes françaises : qui suit le programme français. On commence en 6ème (11 ans) et on finit en Terminale (18 ans)
  Ainsi, un contenu présent dans les classes belges en 6ème secondaire devrait être disponible dans les classes françaises en Terminale, ou parfois en 1ère.
  Le changement "classes françaises" vs "classes belges" se fait sur la page d'accueil des cours, tout en bas de l'accès par classes.
  Commentez le post de Elisabeth «Bonjour, La partie "Maths ... »
  (1 vote)

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Terminale spécialité math

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Prérequis :

Le sujet traité

Le logarithme d'un produit : logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Exemple : Développer

Exemple : Réduire

Remarque

À vous !

Le logarithme d'un quotient : logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Exemple : Développer en utilisant la formule du quotient

Exemple : Réduire en utilisant la formule du quotient

Remarque

À vous !

Le logarithme d'une puissance : logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Exemple : Développer

Exemple : Réduire

À vous !

Un dernier exercice

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Le logarithme d'un produit : $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'un quotient : $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'une puissance : $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍