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Dérivée d'une fonction exponentielle composée - Exemple

On calcule la dérivée de la fonction composée [ln(x)]ˣ et on calcule le nombre dérivé en x=e. C'est une fonction composée d'une fonction exponentielle : les fonctions exponentielles sont des fonctions où la variable est élevée à une certaine puissance, ou bien où elle apparait en exposant.

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Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je te propose d'essayer de calculer la dérive et de cette fonction f qui est ici qu est égal au logarithme 2x élevé à la puissance x alors je comprends que ça puisse de perturber un petit peu comme ça à vue d'oeil parce qu'effectivement c'est une fonction qui est assez compliquée certainement plus compliqué que beaucoup d'autres fonctions que tu as rencontré jusqu'à maintenant parce que on ses dérivés une fonction exponentielle donc par exemple un nombre élevé à la puissance x on sait aussi dérivé une fonction logarithme mais une fonction logarithme 2x élevé à la puissance x ça ça paraît quand même beaucoup plus compliquées alors on va le faire ensemble et en fait les étapes que je vais suivre c'est que dans un premier temps je vais utiliser des propriétés de la fonction logarithme et du lien qui existe entre la fonction logarithme et la fonction exponentielle et puis dans un deuxième temps je vais procéder par dérivation implicite donc voilà ça c'est mon plan d'action alors allons-y et la première chose que je vais faire c'est essayer de me débarrasser de cet exposant qui est là et pour ça et bien une propriété du logarithme c'est que si on prend le logarithme de quelque chose et bien l'exposant va descendre donc ici en fait je vais prendre le logarithme le logarithme de f2 x logarithme de fgx et donc ça ça va être égal au logarithme 2 voilà de logarithmes de x élevé à la puissance x je l'écris comme ça et ici je vais pouvoir utiliser la propriété fondamentale des logarithme qui est que le logarithme de à élever à la puissance b et bien c b fois le logarithme de à donc ici l'exposant cx le petit bc x donc il va descendre et venir se placer ici devant comme un coefficient est donc ce qu'on obtient finalement c'est alors je vais l'écrire comme ça en respectant les couleurs x rythme 2 logarithme de x c'est bien ça c'est logarithme de logarithmes 2x le petit bc l'exposant x et le petit à celle aucun rythme de x donc on obtient exactement ça alors je vais recopier ces parties là de l'égalité qu'on a obtenu maintenant donc on a d'un côté logarithme de f2 x qui est égal à x x logarithme de logarithmes de x alors maintenant puisque cette relation là est vrai est bien quand je dérive ces deux fonctions quand je dérive les deux membres de cette égalité est bien je dois conserver une égalité donc la dérive et de logarithmes de f2 x eh bien elle doit être égale à la dérive et 2 x x logarithme de logarithmes 2 x dont la dérive et 2 x x logarithme de logarithmes 2x voilà alors tu vois que maintenant est ce qu'on va faire en fait ses dérivés chacun des membres séparément et pour ça on va simplement regarder de quoi sont faites les fonctions ici aux membres de gauche et logarithme de fgx est une fonction composé donc je vais pouvoir calculer sa dérive et en utilisant la règle de dérivation des fonctions de ton posé alors je vais le faire ici c'est la dérive et 2f donc f primes de x x la dérive et de logarithmes calculé en f2 x la dérive et de logarithmes 2x c1 sur x donc ici je vais avoir un sur f2 x donc cf primes de x / f 2 x donc f primes de x sur f2 x assez le membre de gauche la dérive et du membre de gauche ici et puis ça doit être égale à la dérive et du membre de droite qui est x x logarithme de logarithmes 2x alors là je vais utiliser déjà le fait que c'est un produit j'ai le produit de x x logarithme de logarithmes de x alors si tu veux on va introduire une couleur de plus voilà c'est x x logarithme de logarithmes de x donc quand je dérive ce produit là et bien je dois d'abord dérivés la première fonction qui est x donc la dérive et 2x c'est un x logarithme de logarithmes de x voilà plus ensuite alors je d'avoir x x la dérive et de logarithmes de logarithmes de x alors on est un petit peu dans le même cas que tout à l'heure ici on a logarithme de logarithmes 2x est une fonction composer on va déjà avoir la dérivée de la fonction qu'à l'intérieur donc la dérive et de logarithmes de x ça c'est un sur x x la dérive et de logarithmes encore une fois calculé en logarithme 2x donc ça va me donner un sur logarithme de x alors cette partie là est assez simple quand même puisque on peut faire des simplifications la x / x est donc finalement ce qu'on obtient je vais leur écrire un petit peu plus simplement c'est logarithme de logarithmes de x logarithme de logarithmes 2x plus 1 / logarithme de x voilà alors c'est là où il faut pas oublier ce qu'on est en train de faire ce qu'on essaie de faire c'est de calculer la dérive et f primes de x alors ici comme tu le vois on n'a pas la dérive et 2f primes de x mais en af primes de x sur f2 x donc si on veut calculer f primes de x il suffit tout simplement de multiplier cette expression concept relations qu'on vient d'obtenir par f 2 x alors je vais le faire donc si je multiplie ce membre la paresse de x je vais avoir f prime 2x et donc ça ça va être égal à ce membre de droite que j'ai obtenus ici je vais le copier que je dois x f 2 x donc tout ça tout ça il faut que je le multiplie par f 2 x voilà pour passer de là à là j'ai tout simplement multiplier les deux membres paref de x ça me donne exactement ça alors tu te dis peut-être que là finalement on n'a pas beaucoup avancé puisque on n'a toujours pas une expression de f primes de x mais en fait si il faut pas oublier que f 2 x on connaît son expression c'est logarithme 2x élevé à la puissance x donc finalement on va pouvoir remplacer ça et là je crois qu'on mérite quelques applaudissements finalement est-ce primes de x f primes de x et bien c'est logarithme de logarithmes 2 x +1 sur logarithme de x x logarithme de x élevé à la puissance x voilà ça c'est notre résultat final c'est une expression de la dérivée de notre fonction f qui était logarithme 2x élevé à la puissance x tu peux si tu veux t'amuser à la simplifier enfin travailler un petit peu algébrique mans par exemple en distribuant mais cette expression là est tout à fait correct