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Définition de la continuité en un point

On introduit une définition formelle de la continuité en un point à l'aide des limites. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo nous allons parler de discontinuité et on va tout de suite commencé avec quelques figures quelques graphiques où je vais être représentés des fonctions qui sont soit discontinue soit continue on va voir pourquoi pour l'instant on va voir uniquement graphiquement donc là deux axes x y cette fonction par exemple comme ça en ce point là passent plus haut et continue donc là ça on le voit c'est une fonction discontinue pourquoi on voit qu'elle est discontinue et bien car le trait le trait d'un seul coup s'arrête et repart de plus haut donc là il ya un saut ici qui a lieu ici là voilà il ya un saut et du coup là c'est une fonction qui est clairement discontinues on peut voir un autre exemple aussi de notre catégorie de graphiques ou il ya aussi une discontinuité mais sans avoir un saut par exemple dessiné les axes x y je dessine une courbe puis arrivée en ce point là uniquement à ce point là la fonction vaut une autre valeur et puis tout de suite après elle reprend son cours donc la sedis continue parce que la fonction là encore il faut lever son stylo up pour atterrir sur ce point là et relever son stylo pour revenir sur la courbe donc on voit que la discontinuité et l'a donc là c'est un point de discontinuité dans ce cas là ça n'a point de discontinuité et c'est régularisables alors ça veut dire quoi que c'est régularisables et bien ça veut dire on peut faire disparaître très facilement cette discontinuité comment mais juste en ramenant ce point là ici si ce point en bleu je leur mets là où je les enlever et bien la fonction et continue oui il ya plus lever le stylo donc finalement je peux aussi vous dessinez évidemment une fonction continue ça c'est la situation la plus simple évidemment celles auxquelles vous avez souvent été confronté jusqu'à maintenant donc une fonction continue et bien c'est tout simplement une fonction où la courbe et continue on n'a pas besoin de lever son stylo pour suivre la cour donc là vous voyez elle est continue je peux vous en dessiner une autre en rouge sur le même axe elle peut être très brusque voilà cette courbe en rouge aussi et continue elle est complètement chahuté mais elle est complètement continue aussi c'est à dire qu'on n'a jamais levé le stylo pour la dessine d'accord alors qu'ici il a fallu lever pour c'est pour passer de la halle à à cause du saut est ici il a fallu la levée il a fallu lever la main pour atteindre un seul point et revenir ensuite sur la côte donc ça ces trois situations de situation où on est dans une situation discontinuité ici aussi on était discontinue et ici on est continu les courbes sont continus que ce soit la rouge ou la verte idem pour elle alors est ce qu'on peut proposer une définition plus rigoureuse à ce que c'est qu'une discontinuité donc par exemple dans le cas d'un intervalle fermé donc voilà deux axes x y x et y donc si on a un intervalle ab par exemple voilà et qu'on a une courbe là je la dessine continue mais c'est pour l'exemple et sur cette cause je vais étudier je veux étudier la continuité en un point à l'intérieur de l'intervalle donc là j'ai mal fait les choses puisque l'intervalle c'est l'intervalle d'existence de la fonction le définition de la fonction donc voilà si je maintiens je m'intéresse à une fonction qui est définie entre a aidé et je veux regarder la continuité aux points dames 6 c et bien je peux regarder ceux ci je peux regarder est-ce que la limite quand x renverser la fonction fdx donc la fonction af c'est évidemment le la petite fonction blanche ici que j'ai dessiné ça c'est la fonction bref est-ce que la limite quand il s'est renversé de la fonction f est égal à f2 c'est donc regardé par exemple sur ce petit exemple alors on voit que la fonction elle est continue on le voit et puis est ce que en même temps on arrive à vérifier cette égalité est bien la limite quand il s'est renversé on en avait plusieurs vidéos pour pour évaluer sa graphiquement on voit que la limite quand x temps versé voilà on tend vers c est bien c'est ça c'est ce point là et évidemment ce point là c'est aussi f2 c'est donc dans ce cas là la limite quand elle est égale à la fonction ans est donc là on est bien dans une situation de fonction continue maintenant est ce que en reprenant cette redéfinition de ce que c'est que la continuité est ce qu'on peut voir tout ça c'était discontinues donc là je vous le rappelle un ça c'est si il y à continuité ça c'est la continuité alors on va s'occuper de ce côté que joue la limite comme ex temps verser donc déjà ses îles et où bas il est au point qui nous intéresse c'est à dire le point là où il ya ce saut là on erich segal c'est que vous la limite quand x temps versé bon voilà on a vu qu'il faut distinguer deux cas si on arrive des valeurs supérieures à celles inférieures donc ça on va appeler ça dix ans la situation petit tas dans la situation petit à la limite quand x temps versé depuis les valeurs positives de la fonction f et bien hop elle est là et c'est bien f dos et puisque la le cercle sans rien à l'intérieur je veux dire que ce point est ici où il y a le cercle rentrer au camp c'est la fonction et les là les panneaux donc la limite quand je viens par la droite cf de ses parts contre la limite quand c'est arrive quand x temps versé par les valeurs négatives là cette fois ci on voit que c'est ce point là ce point là on appelait elle est donc clairement on voit que ça c'est bien évidemment différent de fpc donc cette fonction d'après la définition mathématiques la définition plutôt rigoureuse on voit que la fonction n'est pas continue et ça tombe bien lorsqu'on l'avait effectivement catégorisé comme une fonction non continue donc là la définition a bien marché pour ce graphe est ce que la définition va marcher pour ce groupe là on regarde alors ça c'est la situation petit b je vais l'ex précis mon petit b que vaut la limite quand x d'inverser la fonction bon bah que je vienne de la droite ou de la gauche on a fait plusieurs fois ça dans d'autres vidéos la limite à être là à ce niveau là donc là je trace des petits pointillés donc la limite elle est là mais vaut elle maintenant que vos f2 cbf de ces îles et la voilà donc c'est ce point f ans est évidemment s'intéresse au point qui est là c'est à dire x égale ces valeurs de la fonction ans et là c'est ce point bleu et donc elle est là et là on voit tout de suite du coup que la limite comme ils seront versés de la fonction f 2 x est égal à elle est bien là et bien différente de f2 c oupe tibet n'est pas une fonction continue en x égal c'est ça tombe bien c'est aussi ce qu'on avait dit en observant graphique et maintenant pour les quatre continuité là il n'y a pas de problème non plus si je prends un point sur ceux sur ce grave par exemple je décide que c'est lui d'autres points d'intérêt donc on est lancé eh bien allez les limites quand je m'approche de ce point là que ce soit par au dessus ou pas en dessous par la gauche ou par la droite c'est ici et c'est aussi f2c voilà donc f2 c est égale à la limite ce qui est la définition de la continuité donc ans.la la fonction et continue et donc on pourrait le vérifier pour n'importe quel point est ainsi dire que la fonction et continue en n'importe quel point alors je vous ai précisé ou si je n'ai pas fais je le fais tout de suite ça c'est la définition de la continuité pour un point à l'intérieur de l'intervalle ab pour un point à l'intérieur qu'est ce qui se passe si je suis sur les bords sur les bornes par exemple à la continuité en a ça qu'avant on n'a pas d'informations sur la fonction n'existe pas et après b elle n'existe pas non plus donc est ce qui se passe pour le dernier dernier point où le premier prix donc là vous allez voir que c'est juste une petite modification donc je refais les je refais un axe de graphiques pardon là c'était pas droit voilà et donc je recommence hop je retrace une courbe voilà donc elles existent à partir du ixe et galas et s'arrête à partir de là ça aide à partir de x et galbées alors dans cette situation je vais m'intéresser à ce point là au premier point donc quand on est premier point à gauche dans ce cas là quelle est la définition de la la continuité là pour que la fonction et cela continue donc la fonction et continue si la limite quand x temps vers sépare les valeurs positives est égal à f2 c alors ici puisqu'on est à gauche en fait on peut aussi noter que c'est ça c est égal à à puisqu'on a boucle on peut réécrire ça en disant que la limite quand x d'anvers à part les valeurs positives de fgx est égal à f2 a donc si on a cette égalité qui est vérifiée alors la fonction et continue pourquoi il faut apporter cette précision là puisque la fonction avant elles n'existent pas eh bien la limite on n'a pas d'informations sur la limite quand x enverra par les valeurs négatives voilà pourquoi en fait on a modifié la définition générale en précisant qu' on va arriver par les valeurs positives tout simplement donc là cette fonction je vous ai tracé par exemple bombe à l est et l'est continue aura puisque la limite quand j'arrive par les valeurs positives qui est là elle est bien égale à la fonction elle même en la limite est égale à la fonction au point a donc la fonction est bien continuer au premier point c'est à dire en donc maintenant je vais vous faire la même chose le parallèle mais pour une fonction où on s'intéresse au dernier point en premier je retrace les axes voilà pas cette fois ci je trace une fonction voilà est arrivé au dernier point au tout dernier point la fonction termini ce que là on a toujours à -b alors pour l'instant je vais juste dessiné maintenant je vous parle de la définition donc pour le dernier point sur le point le plus à droite la fonction et continue si quoi et bien si x6 la limite quand x temps versé par les valeurs négatives de la fonction fgx est égal à f2 c là j'avais oublié de préciser blix alors là encore on peut préciser les choses parce que comme on est au dernier point c est égal à b battue peut réécrire en disant que la limite quand x temps vers b depuis les valeurs inférieures de la fonction live de x est égal à f2 b donc quand on est sur le premier point à gauche bien c était gras quand on est surpris dernier point à droite c est égal à 10 alors dans ce dans ce petit grave que je vous ai fait alors la fonction il est continu ou discontinu attend de lui en appliquant le en appliquant la la formule en regardant si ça c'est vrai eh bien d'abord il faut évaluer la limite quand x temps verbe et par les valeurs négatives donc c'est par les valeurs négatives là et elle est là quand elle est maintenant chef de baie que vaut-il et bien en b la fonction elle n'est pas là et les l'a donc f2b il est là donc ça cmdb et donc elle est différent deux élèves de bep dans ce cas là la fonction est discontinue sur le dernier point à droite donc on a vu ensemble la définition rigoureuse de ce que c'est que la ligne la continuité en s'appuyant sur ce qu'on a vu jusqu'à lors c'est à dire en s'appuyant sur la notion de limite