Introduction aux limites

bienvenue dans cette vidéo où je vais te parler de la notion de limites d'une fonction en main points alors je vais commencer par écrire quelque chose qui va peut-être de sembler complètement du chinois mais ne t'inquiète pas justement le but de cette vidéo c'est de comprendre de quoi il s'agit alors je te propose cette expression la limite quand x d'anvers 2 de la fonction x au carré alors ça a l'air très compliqué comme ça mais ça se lit vraiment comme je viens de le dire si on cherche la limite quand x temps vers deux camps la variable x s'approche de la valeur 2 de cette fonction là qu'est la fonction car et que tu connais bien donc qu'est-ce que ça veut dire ça ça veut dire qu'on va chercher de quelles valeurs s'approche le nombre x au carré temps le nombre x s'approche de 2 alors pour bien comprendre ça je vais faire un dessin je vais dessiner la courbe représentatives de la fonction car et donc tu le sais c'est une parabole voilà je fais mes axes donc ici les ordonner ici les apsys l'origine et donc la courbe représentatif de cette fonction bien c'est une parabole qui a pour semer 0 voilà elle ressemble à quelque chose comme ça elle est symétrique par rapport à l'axé des ordonnées ce qui est pas tout à fait le cas sur mon dessin et donc je vais placer ici la valeur 2 x égal 2 c'est là et je vais repéré le point sur la courbe le point sur la courbe kapoor ap 6 2 il est ici et sont ordonnés et bien ces deux carrés c'est à dire 4 c'est l'image de deux par la fonction car elle voilà tout ça tu le sais très bien ce qu'on va faire maintenant c'est imaginer que la variable x tu en rêves r2 donc s'approche de cette valeur de 2 mais évidemment ça on peut le faire de deux manières différentes on peut s'approcher de cette valeur là soit par ici en venant de valeurs qui sont plus petites que deux soit par là on en trouve en venant de valeurs qui sont plus grandes que deux alors tu peux imaginer ça comme ça si tu prends un point qui est un petit peu plus petit que deux ici sur l'axé des abscisses et bien il va correspondre à un point qui est sur la courbe ici et quand tu fais tendre la valeur x à 2 par ici en venant de la gauche et bien ce point là va s'approcher de ce point ici voilà donc il va s'approcher d'eux ce point là et donc l'image de x va s'approcher de la valeur 4 alors quand on regarde ce qui se passe de l'autre côté c'est exactement la même chose on prend ici une valeur x un petit peu plus grande que deux qui correspond à un point sur la courbe et quand on fait tendre ce nombre là x vers 2 donc en diminuant petit peu vers la gauche est bien le point qui est ici sur la courbe va s'approcher de ce point là et donc la valeur x au carré face approcher 2 4 et du coup ce qu'on vient de voir c'est que quand le nombreux x approche de deux par valeur inférieure ou par valeur supérieure et bien dans tous les cas le nombre x au carré va s'approcher de la valeur 4 alors ça ça veut dire que la limite quand x temps vers 2x au carré et bien c'est 4 ça peut paraître un petit peu tiré par les cheveux tout ce que je te raconte pas ce qu'en fait tu peux dire mais l'a finalement ce qu'on fait c'est tout simplement calculé l'image de deux par la fonction car est donc remplacé x par deux ici est calculé de au carré qui est égal à 4 alors effectivement dans ce cas là c'est tout à fait ce qu'on fait cette idée de limites dans ce cas-là coïncide avec l'idée de calculer la valeur de la fonction pour x égale à 2 mais maintenant je vais prendre un exemple un petit peu différent et tu vas voir que tu vas comprendre pourquoi cette notion de limite et quand même un petit peu différente en fait je vais prendre une fonction qui est presque la même c'est la fonction f 2 x qui est définie par x au carré si x est différent de 2 et puis pour x égal 2 et bien f 2 x sera égal à 3 disons donc si x est égal à 2 fgx est égal à 3 images de deux par la fonction fc 3 alors je vais faire là aussi un dessin courbes représentatif de ma fonction f donc ici les ordonner les abscisses et l'origine et donc la courbe représentatif de f je vais la trace est comme ça j'ai d'abord une parabole voilà qui est la même que tout à l'heure bon là on dirait pas mais elle doit passer par l'origine et puis maintenant il faut que je m'occupe de matérialiser cette condition la rive de x égale à 3 6x est égal à 2 alors je vais placer je vais regarder ou et 2 on va dire que deux est ici sur l'axé des abscisses et donc normalement quand je remonte sur la courbe ici cette valeur là c'est 4 à voilà alors ce qui en fait avec cette fonction-là la fonction est ce qu'on a décidé d'étudier ici bien c'est qu'en fait pour x & gas 2 l'image de f c'est pas 4 c'est 3 donc 3 on va dire que c'est là voilà donc l'image de fc ce point là en fait ça veut dire que sur cette parabole ici j'ai un trou j'ai un trou qui est ici alors je vais le matérialiser plus tôt par un rond comme ça creuse et en fait donc tu vois ce qui se passe pour x différent de 2 j'ai toute cette portion là avec ici un trou et puis ça continue de notre côté et puis pour x égal 2 et bien l'image c3 alors maintenant on va essayer de calculer la limite quand x temps vers 2 de notre fonction f donc du nombre f 2 x faire exactement comme tout à l'heure je vais imaginé de faire tendre la variable x à deux et ça je peux le faire de deux manières différentes soit ici par valeurs plus petites que deux soit comme ça par valeurs plus grande que deux alors comme tout à l'heure ici si je le fais par valeurs plus petites que deux c'est comme si je faisais tendre ce point là enfin il faut l'imaginer comme un point mobile qui va s'approcher de ce point ici et puis si je le fais tendre la variable x à 2 de ce côté-là par valeur supérieure à 2 eh bien je vais et imaginé avoir un point ici qui va se déplacer vers cette valeur là donc tu vois que dans ce cas là finalement la limite quand x temps vers 2 de aef de fgx est bien celle ordonnée de ce point là donc c'est en fait quatre et ce qui est intéressant à remarquer c'est que dans ce cas là et bien là limite quand x temps vers de f2 xc 4 et 4 c'est différent de troie qui est l'image de deux par la fonction f donc dans ce cas ci il ya une différence très nette entre le fait de calculer la limite quand x temps vers 2 de la fonction fgx est calculée l'image tout simplement du nombre de deux par la fonction f j'espère que là tu te rends bien compte de cette différence en fait le problème c'est que dans certains cas comme celui de cette fonction f il peut y avoir un point où la fonction n'est pas défini ou bien il peut y avoir un saut dans la fonction comme c'est le cas ici et dans ce cas-là calculer la limite d'une fonction en un poids ce sera différent que calculée l'image d'un point par cette fonction