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Limite d'un produit ou d'un quotient de deux fonctions

Plusieurs exemples où l'on détermine la limite en un point donné d'une fonction définie comme le produit ou le quotient de deux fonctions dont on connait les représentations graphiques.

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Transcription de la vidéo

soit la courbe représentatives de la fonction est fait celle de la fonction j'ai sur l'intervalle -4 4 donc ici on a la courbe représentatives de la fonction f ici et puis à droite la courbe représentatives de la fonction g quelle est la valeur si elles existent de limites quand x temps vers 2 du produit f 2 x x g2x on nous demande donc de choisir une réponse parmi celles qui sont proposées ici alors on doit calculer la limite d'un produit de fonction donc on va utiliser les propriétés qu'on connaît sur les limites de fonction et on sait que la limite d'un produit c'est le produit des limites donc ce qu'on doit calculer en fait ici c'est la limite quand x temps vers 2 2 f 2 x multiplier par la limite quand xtor vers 2 de g 2 x c'est par examiner cette limite la limite de f quand x d'anvers 2 alors f c'est une fonction continue surtout l'intervalle -4 4 donc finalement il n'y a aucun problème pour calculer la limite quand x temps vers de f2 x c'est tout simplement l'image de deux par cette fonction donc ici on le lit sur le graphique c'est le point de coordonnées 2f 2c celui là donc f-22 c zéro ce qui veut dire que cette limite la limite quand x temps vers de f2 xc 0 maintenant on va regarder la limite de g quand x d'anvers 2 alors ici j'ai n'est pas défini pour x égal 2 mais attention ça veut pas dire que la limite de g quand x d'anvers 2 n'est pas défini puisque tu vois ici en fait on pourrait prolonger par continuité cette fonction là tout simplement définissant l'image de 2 comme étant égale à 2 ce moment là on complète très la courbe représentative de jets en ajoutant ce point-ci tout simplement donc ça c'est à retenir c'est pas parce qu'une fonction n'est pas défini en un point que sa limite en ce point n'existe pas mais effectivement ici quand on se rapproche de deux par valeur inférieure à 2 donc de ce côté là en fait on se rapproche sur la courbe de ce point si donc la limite quand x temps vers 2 à gauche de la fonction gc 2 c'est cette valeur là et on trouve exactement la même chose quand on se rapproche de deux camps x sera proche de 2 par valeur supérieure donc à droite on se déplace sur la courbe comme ceux ci et on s'approche de cette valeur de également donc ici la limite quand x envers 2,2 g ces deux et donc finalement la limite du produit f 2 x x g2x au camp x temps vers 2 et bien c'est zéro x 2 et ça ça fait zéro alors je fais une petite remarque aussi sur le fait que comme on a trouvé une première limite égal à zéro on aurait été tenté de donner directement le résultat sans même examiner la limite de g quand x d'anvers 2 mais ça il faut quand même faire attention parce que ici on pourrait avoir une limite infini qui n'est pas un nombre réel est du coup ici on n'aurait pas pu faire le produit de cette manière là donc même si tu as une première limite qui est égal à zéro il faut quand même vérifier que la deuxième limite est un nombre réel n'est pas infinie voilà on va faire un autre exercice du même genre alors on va faire celui ci donc on a une fonction h ici dans la courbe représentative et donnez là une fonction f dont on connaît la coupe représentative ici sur l'intervalle -4 4 toutes les deux et on nous demande cette fois ci de calculer la valeur si elles existent de la limite quand x temps vers -1 de h2x sur f2 x alors comme tout à l'heure on va utiliser les propriétés des limites on sait que la limite d'un quotient c'est le quotient des limites donc ce qu'on doit calculer ici c'est la limite quand x temps vers -1 de h2x divisés la limite x temps vers -1 de f 2 x alors on va commencer par étudier le numérateur donc la limite quand x temps vers -1 de h2x est ici h c'est une fonction qui est continu sur l'intervalle -4 4 donc la limite quand x temps vers -1 de h2x c'est tout simplement l'image de -1 par la fonction h alors x égales - c'est là et on lit leurs données de ce point ici c'est un donc finalement cette limite la c1 maintenant on va regarder la limite de f quand x temps vers -1 alors ici f n'est pas défini en x égales - puisqu'on aaron creux ici donc un trou dans la cobp représentative de f mais comme tout à l'heure ça veut pas dire que la limite en ce point là de f n'existe pas on va regarder ce qui se passe en fait quand je t'en as moins un parent valeurs inférieures à - 1 donc par la gauche fdx tend vers cette valeur là qui est égal à zéro ça c'est donc la limite à gauche en moins 1 et la limite à droite en moins bien c'est pareil c'est cette valeur là on tend à cette valeur là zéro donc ici la limite quand x temps vers -1 2 f de xc 0 alors ici on est dans un cas un peu particulier puisque on a deux limites qui existe un quotient de deux limites qui existe mais c'est quand même un petit peu particulier puisque en fait le dénominateur ici d'anvers 0 donc ce qu'on a c'est une division par zéro et ça c'est pas possible donc ça veut dire que la limite en fait n'existe pas en tant que nombreux réel la fonction ne convergent pas envie que ce également un nombre réel ici ça limite sera plus infinie ou moins l'infini d'ailleurs il faudra examiner ce cas là je dis plus infinie parce qu'ici c'est effectivement plus l'infini qui te laisse réfléchir à ça en tout cas du coup on ne peut avoir aucune de ces quatre réponses là qui sont des nombres fini donc la seule réponse possible c'est la dernière la limite n'existe pas ou si elle existe elle n'est pas fini et ce sera exactement ce cas là qui sera le nôtre donc c'est cette réponse là qu'il faut choisir et dans cette réponse là c'est cette partie là qui est la bonne la limite de la fonction h2x sur f2 x existe mais n'est pas fini et d'ailleurs si tu traçait la courbe représentatif de h2x / f 2 x tu peux le faire sur à partir des graphiques qui sont donnés ici eh bien tu te rendrai compte qu'effectivement on a une asymptote verticale d'équations x égales - za et donc tu pourrais te rendre compte graphiquement que cette limite là n'est pas fini