Comportement à l'infini d'une fonction rationnelle

la fonction j'ai défini par g2x égale 9x au cube + 6 / 3 x - 7 quelle est la limite de g2x quand x envers moins l'infini alors ici notre fonction j'ai en fait c'est un quotient de deux polynôme donc c'est ce qu'on appelle une fonction rationnelle quotient de polynôme et en général on ne peut pas calculer la limite d'une fonction rationnelle en plus ou moins l'infini directement en considérant les termes qui la constituent parce que ici si tu regarde ce qui se passe le numérateur 9,6 au cube quand x anvers - à l'infini x occupe d'anvers - là fini aussi ensuite on ajoute 6 donc ça ça change pas grand chose ce qui veut dire que finalement le numérateur lui il tend vers moins l'infini et puis le dénominateur c'est la même chose 3x d'anvers moins l'infini quand x temps vermont à l'infini ensuite on soustrait 7 ce qui change pratiquement rien donc finalement le numérateur envers moins l'infini aussi donc on est en présence de ce qu'on appelle une forme indéterminé de type moins l'infini sur moi l'infini c'est ce qu'on appelle une forme à déterminer et on ne peut pas calculer directement comme ça cette limite puisque en fait on sait pas si c'est ce numérateur là qui va l'emporter sur le dénominateur c'est à dire qu'on peut pas dire comme ça si le numérateur va aller plus rapidement que le dénominateur vert - finir donc il va falloir trouver quelques stratagèmes alors je te donne une petite indication et puis ensuite je te laisserais réfléchir ton côté c'est que il va falloir en fait considérer les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur alors à toi de jouer et on se retrouve dès que tu a réfléchi ton côté donc ce que je vais faire c'est réécrire maintenant que tu as réfléchi réécrire ma fonction g mais je vais factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur alors au numérateur le terme de plus haut degré ses ne fixe aucune donc je vais factoriser ce terme là au numérateur donc ça va me donner 9x au cube facteur 2 1 + 6 / 9 x au cube je ferme la parenthèse et puis au dénominateur le terme de plus haut degré ses 3 x donc je vais le mettre en facteurs et je vais obtenir 3 x factor 2-1 - 7 sur 3 x voilà maintenant je vais même écrire en séparant encore plus les choses je vais écrire ça comme ça 9 x au cube sûr 3 x x cette fraction un + 6 sur 9 x au cube / 1 - 7 sur 3,6 à c'est juste un jeu d'écriture mais ce qui est très intéressant là dedans c'est que évidemment la limite de g c'est donc la limite de ce facteur là x la limite de ce facteur là alors ça tu vas voir ça va être la clé peut-être que tu vois déjà où je veux en venir ici quand x temps vers moins l'infini x au cube d'anvers moins l'infini 9x occupe tant vers moins l'infini donc 6 sur 9 x au cube tend vers zéro donc ce terme-là ça tend vers zéro et puis au dénominateur et bien ce terme-là 7 sur 3 x quand x d'anvers moins l'infini ça tend vers zéro aussi donc ce qui est très intéressant c'est que finalement cette limite là on peut la calculer très facilement puisque le numérateur tend vers un + 0 donc vers un est le dénominateur tend vers 1 - 0 donc vers un en fait la limite de ce quotient la sas est un ce quotient la tend vers un camp x temps vers moins l'infini du coup je vais pouvoir écrire ça comme ça je sais que la limite de g2x quand x temps vers moins l'infini eh bien c'est la limite quand x temps vers moins l'infini [Musique] de ce quotient 9 x au cube qu'on va pouvoir simplifier mais pour l'instant je laisse comme ça x la limite de ce quotient là qui est un donc fidh man la limite de gegants xtor vers moins l'infini et bien c'est la limite de ce quotient donc ça c'est ce qui est à retenir quand tu doit calculer la limite en plus ou en moins l'infini ça revient au même d'une fonction rationnelle et bien il s'agit de calculer en fait la limite en plus ou en moins l'infini du quotient des deux termes de plus haut degré de ta fonction rationnelle alors évidemment on n'a pas terminé mais on va le faire maintenant tout simplement je vais simplifiée l'expression que j'ai ici donc je vais dire que c'est la limite d'un x temps vers moins l'infini alors j'ai eu 9 x au cube / 3 x ça assez 3x au carré cl quand hicks et anvers fini x o car est en verre plus l'infini et quand je multiplie par 3 eh bien je tends encore vert +1 finit donc finalement la limite de g2x quand x envers moins l'infini c'est plus l'infini alors on va en faire un deuxième la fonction paie défini par p 2 x 14 x au carré - 9 sur 30 5 x - x au cube donc c'est comme tout à l'heure c'est une fonction rationnelle et la question c'est la courbe représentatif de pead métal une asymptote horizontale si oui quel est son équation alors cherchez une asymptote horizontale soeur revient en fait à chercher si la courbe s'approche d'une valeur fini quand x tend vers plus l'infini ou moins l'infini alors si tu veux on peut faire un petit croquis pour mieux se rappeler ce que ça veut dire là je vais faire un repère voilà donc l'axé des abscisses l'axé des ordonnées xy et donc je vais tracer une asymptote disons que par exemple je sais que ma fonction à une asymptote horizontal qui est celle l'adéquation disons y égal 2 alors ça veut dire que ma fonction peut faire quelque chose voilà ça c'est sa courbe est mais ce qui est important c'est que quand on s'approche de plus l'infini quand x tend vers plus l'a finie et bien la cour va s'approcher de cette droite d'équations y égal de ça c'est une asymptote en plus l'infini pour une asymptote horizontale en moins l'infini on devrait avoir un comportement comme ça la courbe s'approche de la droite d'équations y égal 2 voilà sans jamais la touche et bien sûr alors là que dessiner une courbe qui est au dessus de son à 70 donc on s'approche par valeurs positives de la symptômes mais ça pourrait être quelque chose comme ça je pourrais dessiner une autre courbe est par exemple celle ci elle pourrait avoir une branche kahina symptômes horizontale en moins l'infini et puis une asymptote verticale ici approche de la valeur x égal 1 voir une autre branche comme celle ci par exemple voilà alors maintenant qu'on sait rappeler ça on va essayer de déterminer si la courbe représentatif de paix admin asymptote horizontale et pour ça tu as compris ce qu'il faut faire en fait on doit calculer la limite en plus l'infini et en moins l'infini de la fonction paie du coup je vais suivre exactement la technique qu'on a développé tout à l'heure en fait je verrai écrire paix en factories ans les termes de plus haut degré au numérateur et le dénominateur donc au numérateur je vais obtenir 14 x au carré facteur de 1 - 9 / 14 x au carré et puis au dénominateur je vais obtenir le terme de plus haut degré attention c'est celui ci un set - x au cube donc je vais factoriser ce terme là - x au cube facteur de donc 35 x 35 x / - x au cube +1 tout à l'heure tu peux vérifier que ce qui est dans la parenthèse ici ça tend vers un camp x tend vers plus l'infini ou moins l'infini et cette parenthèse la tend vers un aussi quand x tend vers plus ou moins d'un feeling donc finalement la limite quand x temps vers alors je vais l'écrire comme ça tend vers plus ou moins l'infini de paix de x eh bien c'est la limite quand x tend vers plus ou moins l'infini de ce quotient la 14x au carré / - 3 x au cube donc ça je vais le réécrire en le simplifiant c'est donc la limite quand x tend vers plus ou moins l'infini de -14 sur 3 x et du coup cette limite elle est facile à calculer c'est zéro quand x tend vers plus l'infini -14 sur 3 x tend vers zéro et quand x temps vers moins l'infini c'est pareil - 14 sur 3 x tend vers zéro donc ça veut dire que quand x tend vers plus l'infini la fonction s'approche de la valeur zéro de plus en plus et quand mixte au vermont à l'infini aussi donc finalement on a une asymptote horizontale en plus infinie kapoor équation y égal zéro et c'est une asymptote aussi en moins l'infini que je sais que la courbe s'approche de l'axé des abscisses en plus et en moins l'infini mais je sais absolument pas ce qui se passe au milieu entre les courbes d'ailleurs on aurait pu aussi regardé au moins si la courbe était au dessus ou en dessous de son asymptote en plus et en moins l'infini ça je te laisse répondre à cette question et pour l'instant on va en faire un dernier voilà je te propose celui là la fonction af est définie par f2i segal 5x puissance 3 - 3 x + 4 le tout divisé par 10 x au cube - 7 et on nous demande de calculer la limite de f2 x quand x temps vers plus l'infini alors je vais faire exactement comme tout à l'heure je vais factoriser les termes de plus haut degré donc f 2 x je vais le faire directement c'est que 5 x au cube sur 10 x au cube pliée par alors au numérateur je vais avoir un - 3 x sur 5 x au cube + 4 / 5 x au cube au dénominateur je vais avoir un moins 7 sur 10 x au cube alors ici on a un peu plus de termes au numérateur de cette fraction lac tout à l'heure mais ça change absolument rien puisque quand x tend vers plus l'infini ce terme-là tend vers zéro ce terme-là d'anvers 0,6 et puis ce terme-là tend vers zéro aussi donc comme tout à l'heure en fait toute cette fraction que je vais entouré en violet toute cette fraction là vers 1 la limite ef de x x tend vers plus l'infini la limite uniquement de ce quotient l'a donc la limite quand x tend vers plus l'infini 2 5x au cube sur 10 x au cube 5 ix au cube sur 10 x au cube et là il faut comme tout à leur simplifier cette expression ici on peut diviser en haut et en bas par ixo cube et on obtient donc 5/10 c'est-à-dire un demi et donc c'est une constante donc la limite de cette fonction là quand x tend vers plus l'infini et bien ces cinq dixièmes c'est-à-dire un demi voilà donc là on a terminé on a calculé la limite de f1 en plus l'infini on peut quand même tant qu'à faire a ajouté que finalement notre fonction f elle amène à 70 horizontale en plus l'infini qui a pour équation y égal 1 2 me