Équation différentielle dont la solution est une fonction linéaire

on connais bien maintenant les équations du type y égal 3 x quand on dérive y par rapport à x on obtient la dérive et de y par rapport à x est égal à 3 et ça c'est une notation possible tu en a peut-être vu d'autres ici d y c'est une différentiel dx c'est aussi une différentiel mais qu'est ce qu'une différentiel bien une différentiel c'est une variations infinitésimales de y dans le cas d'une différentiel de y est c'est une variations infinitésimales de x dans le cas d'une différentiel de x donc une différentiel en fait c'est comme une différence dans la même idée que quand on parlait de pente une droite on disait que la pente c'est la variation de y par rapport à la variation de x quand on est dans le cas d'une courbe on cherche à faire en sorte que cette variation est cette variation tendent vers zéro et c'est ce qu'on appelle une différentiel une différentiel c'est une variations infinitésimales c'est-à-dire très petit et donc qu'est-ce qu'une équation différentielle et bien c'est tout simplement une équation faisant intervenir des différentiels par exemple d y sur dx est égal à x au carré plus un c'est une équation différentielle comment est-ce qu'on résout ça eh bien il ya plusieurs façons par exemple des grecs sur des x c'est la dérive et de y par rapport à x donc y c'est la primitive de x o car est plus un mais on peut aussi résoudre ça comme on peut résoudre n'importe quelle équation différentielle on peut manipuler ces différentiels presque comme on manipule des ombres donc ce qu'on peut faire c'est déjà multiplié de chaque côté de l'équation par des x on obtient des y égale x au carré + 1 x dx donc pour un tout petit changement de y d y on obtient x au carré + 1 x un tout petit changement thé xx donc pour un changement infinitésimale de x si tu veux savoir comment y varie il faut multiplier y par xo 4 st et pour déterminer cette différence on va prendre l'intégrale de chaque côté de cette équation si tu as déjà regardé les vidéos sur l'intégration tu sais qu'une intégrale c'est une somme infinie des variations infinitésimales de y des y donc si tu fais la somme de tous ces changements d y il ne reste plus que y tu ce côté de l'équation qui est égal à de ce côté qu'est ce qu'on a c'est l'intégrale de x o car est plus un autrement dit la primitive de x o car est plus un c'est donc x à la puissance 3 sur 3 + 6 plus c'est si ce n'est pas clair pour toi je t'invite à regarder à nouveau les vidéos sur l'intégration mais tout vient ce c'est ici et puis on sait que la dérivée d'une constante c'est zéro donc si on cherche la primitive du xe au carré plus un c'est possible qu'il y ait une constante puisqu'il peut avoir plus 0 à la suite et donc voilà la solution générale de cette équation différentielle rappelle-toi la solution d'une équation c'est un nombre ou en ensemble de nombres par exemple si on à y égal 2 y - 1 aurait un range ans on obtient moins y égales - et donc y égale 1 1 on a ici un nombre solution de l'équation dans le cas d'équations différentielles la solution c'est en fait une fonction ou en ensemble de fonctions parce que résoudre une équation différentielle c'est en fait se demander quelles fonctions satisfait cette équation différentielle et là on a une équation différentielle assez simple à résoudre mais c'est aussi vrai pour n'importe quel type d'équations différentielles donc la solution générale de cette équation différentielle c'est cette fonction jeudi général parce qu'on a la constante c'est ici qui peut prendre n'importe quelle valeur si on avait voulu trouver une solution particulière on aurait précisé par exemple de trouver la fonction y qui satisfait y21 égal 1 par exemple ou encore la fonction y qui passe par le point 1 1 il suffit pour ça de substituer x et y par ses valeurs dans cette forme générale et on trouve ces on a un est égal à 1 à la puissance 3 sur 3 plus un plus c'est alors on enlève un de chaque côté et en soustrait un tiers de chaque côté on obtient c'est égal moins d'un tiers donc grâce à cette condition ici on a une des solution de cette équation différentielle c'est y égale x à la puissance 3 sur 3 + 6 mois un tiers et si tu veux tu peux t'amuser à dériver cette expression et tu verras tu retrouveras x o car est plus simple allez on passe à un autre exemple on veut résoudre cette fois d y sur dx égale x / y est on veut déterminer la solution y tels que y21 est égal à 1 on a un cas un peu plus intéressant ici parce qu'on a x et y de ce côté de l'équation on va commencer là encore par multiplier de chaque côté par des x on obtient des y égale x / y dx et maintenant on va aussi faire passer y de l'autre côté en multipliant de chaque côté par y on obtient y t y es galles its dx on va maintenant déterminer l'intégrale de chaque côté quelle est la primitive de y ici et bien c'est y au carré sur deux plus c'est un une constante que l'on ne connaît pas encore quelle est la primitive 2x et bien c'est x au carré sur de plus ces deux encore une fois une constante qu on ne connaît pas encore en réarrangeant les termes on obtient alors je vais continuer de ce côté de ma page on obtient y au carré sur deux - x au carré sur deux égale ces 2 - c1 c2 ça pourrait être n'importe quel constante c'est en ça pourrait être n'importe quel constante aussi donc la différence entre les deux ça pourrait être n'importe quel constante donc une troisième constante que je vais appeler ses 3 on a donc y au carré sur deux - x au carré sur deux égale c3 on peut multiplier de chaque côté par deux et on obtient y au carré - x au carré est égale à deux fois à ces trois que je vais appeler essais puisque ces trois c'est une constante on a dit que c'était n'importe quel constante donc deux fois une constante ça sera une constante aussi c'est et voilà la solution générale de cette équation différentielle maintenant on nous demande la solution particulière tels que quand x égale 1-1 y égal 1 donc il suffit de remplacer x/y par un et 1 on a donc un au carré - 1 au carré égal c'est en moins 1 0 c'est égal zéro donc la solution de cette équation différentielle tels que y21 égale 1-1 c'est y au carré - x au carré égal 0 ou encore y au carré égale x au carré que peut être tenté ici de supprimer les carrés de chaque côté et d'écrire y égale x mais attention ce n'est pas correct ici x peut être égal à -2 et y égale à 2 cette équation est satisfaite mais pas celle là maintenant on va essayer de trouver la solution de thé y sur dx égale racine carrée de x / y tels que y21 est égal à 4 même chose ici on multiplie de chaque côté par des x et on obtient des y égal alors tu sais que la racine carrée d'une fraction c'est la racine carrée du numérateur sur la racine carrée du dénominateur on a donc racine carrée de x sur racine carrée de y x dx est maintenant au multiplient de chaque côté par la racine carrée de y ait au lieu d'écrire racine carrée de y je vais directement écrire y à la puissance 1/2 ça va simplifier pour la primitive plus tard donc x et y c'est égal à racine carrée 2x donc x à la puissance 1/2 dx la primitive de y à la puissance 1/2 c'est deux tiers fois y à la puissance trois demis et situant d'où tu peut dériver ça et tu verras plus haut tombe rassure y à la puissance 1/2 plus c'est un bien sûr on a toujours la constante c'est égal à deux tiers x x à la puissance 3/2 plus c'est de la constante je vais continuer de ce côté on peut faire passer le terme en x à gauche et la constante à droite on obtient deux tiers voire y à la puissance 3/2 moins 2/3 x x ^ 3 demi est égal à ses 2 - c1 on va tout de suite écrire ces trois on peut tout multiplié par 3 demi pour simplifier on obtient y à la puissance 3/2 - x à la puissance 3/2 c'est égal à trois demis fois ces trois que je réécris juste c'est puisque c'est une constante et ça c'est la solution générale maintenant pour trouver la solution telle que quand x égal 1 y égale 4 il suffit de déterminer c'est en remplaçant x parent et y par quatre dont 4 à la puissance 3 2 me -1 à la puissance 3/2 égale c4 à la puissance 1/2 c 2 donc quatre à la puissance 3/2 ses 8,8 un la puissance 3/2 c'est un moins un égal c est donc c'est égal 7 la solution particulière de cette équation c'est y à la puissance 3/2 - x à la puissance 3/2 égale 7 c'est la solution de notre équation différentielle tels que y21 égale 4