Probabilités et combinaisons

alors on va continuer à faire des probabilités et cette fois ci on va faire quelque chose d'un petit peu différent un peu plus difficile et au lieu de prendre une pièce le truc et comme comme on m'a fait beaucoup dans les autres vidéos on va prendre cette fois ci une pièce truquée et d'ailleurs nous on va on va changer complètement on va on va s'occuper de basket ball aujourd'hui on va prendre le problème des jets francs alors on va supposer qu'on fait un jet franc et que quand on fait un jet franc on a une probabilité de succès qui est dehors disons 80% ça veut dire aussi que j'ai une probabilité de rater de 20% alors maintenant le problème que je vais me poser c'est de savoir quelle est la probabilité de réussir 3g francs 3g francs sur cinq donc je fais 5 g francs et je voudrais calculer la probabilité d'en réussir trois sur ces 5 alors pour ça on pourrait s'amuser à trouver toutes les tous les résultats possibles et à identifier ceux où on a 3 g francs réussis sur 5 bon là ce qu'on va faire c'est plutôt se demander quelle est la probabilité d'une issue quelconque qui nous va c'est à dire d'une issue où on a 3 g francs réussis sur 5 alors par exemple une issue qui nous va une issue favorable c'est un succès d'abord un autre succès un troisième succès puis un échec et encore un échec voilà ça c'est une issue possible ça pourrait être autre chose ça pourrait être par exemple un succès un échec un succès un échec est un succès voilà alors maintenant ce qu'on va faire c'est essayer de calculer la probabilité d'une issue de ce genre là donc par exemple pour celle ci le premier succès dans c'est qu'il ya 80% de chances de réussir à g francs donc le premier succès il a une probabilité de 80 % c'est-à-dire de 0,8 le deuxième une probabilité identique encore de 0,8 le troisième encore de 0,8 le quatrième alors c'est une pro c'est un échec donc la probabilité d'avoir un échec c'est 20 % donc c02 et puis le dernier rush le dernier jet franc un échec encore donc c'est 0,2 ça c'est parce que les jets france ont tous indépendants les uns des autre et donc la probabilité de cette issue là ça va être le produit de ces probabilités c'est 0 8 x 0,8 fois 0,8 fois 0-2 fois 0-2 alors ça je peux l'écrire différemment ces 08 puissance trois fois 0,2 puissance 2 voilà alors je vais faire la même chose avec l'autre issue que j'ai dessiné que j'ai représenté ici le premier est le premier succès il a une probabilité de 0,8 l'échec au deuxième j'ai france à une probabilité de 0 2 le succès au 3e g france et 0,8 probabilité de 0,8 là l'échec au quatrième c02 et puis le succès enfin c'est 08 alors la probabilité de cette issue c'est le produit de toutes ces probabilités 0.8 fois 0,2 x 0,8 soit 0,2 x 0,8 et ça je peux le réorganiser un est en fait si je vais pouvoir l'écrire comme tout à l'heure c'est 0 8 x 0,8 fois 08 c'est à dire 08 puissance 3 x 0 2 x 0 2 c'est à dire 0 2 au carré et là on voit que finalement ces deux issues là ont la même probabilité et ça en fait on peut facilement se rendre compte que n'importe quelle issue où il ya trois succès et deux échecs elle a une probabilité de 0,8 au cube fois 0-2 au carré donc en fait pour calculer la probabilité de réussir 3g francs sur cinq on va simplement content et de combien de façon différente on peut réussir 3g france sur les cinq exactement 3g france sur les cinq et puis après on devra multiplier par cette probabilité qui est la probabilité d'une seule de ces issues alors maintenant on a déjà vu plusieurs fois le ce cas là en fait là on a cinq lancers lors par exemple celle lancée 1 2 3 4 5 et parmi ces cinq lancers on doit en choisir trois qui seront des succès alors bon ça on sait comment faire finalement ça revient à choisir trois éléments parmi cent donc c'est le nombre de combinaisons de trois éléments parmi 5 et ça on avait vu on avait vu la formule c'est 5 factorielle sur 5 - 3 factorielle x 3 factorielle voilà alors 5 factorielle ses 5 x 4 x 3 x 2 x 1 et puis on divise tout ça par leur cinq mois 3 factorielle ça fait 2 factorielle donc ces deux fois 1 je vais décrire comme ça foix iii factorielle 3 factorielle c'est 3 x 2 x 1 voilà donc là on peut bon évidemment il ignorer les uns tous les uns mais on peut aussi simplifié trois fois deux fois elle retrouve ici donc on peut simplifier ça et puis le 1 on ne compte pas et donc on a 5 x 4 on peut diviser 4 par deux donc ici on va avoir un deux et ici on sent que ça s'en va donc finalement on a 5 x 2 c'est à dire 10 donc finalement il y a dix façons de faire 3g francs réussis sur les 5 alors là j'avais listé deux de ces combinaisons et ces deux là se serait ce un bon exercice pour toi si tu veux de de les lister tout c'est parce pas inutile mais là on n'a pas besoin de faire ça en fait puisque avec cette formule du binôme on trouve directement le nombre de combinaisons de ces trois éléments parmi cinq de ses trois succès parmi 5 j'espère que tu comprend d'où vient cette formule si c'est pas le cas je m'engage à regarder d'autres vidéos les vidéos précédentes et donc finalement la probabilité de réussir 3g france sur les cinq et bien ça va être la probable le nombre de combinaisons donc le nombre de résultats où il ya 3g francs réussis sur 5 c'est à dire 10 x la probabilité de chacun de ces résultats-là de chacune de ces issues et qu'on avait calculé ces 08 puissance 3,08 occupe x 0,2 au carré donc ça c'est la probabilité de trois succès x la probabilité de deux échecs voilà alors on va sortir la calculatrice pour calculer ça alors on a 10 x 0,1 huit puissances 3 x 0,2 au carré on y va donc ça fait 0,20 48 0,20 48 c'est à dire bon je vais médecin pourcentage 20,48 % donc voilà on a à peu près 20 chance sur 100 de réussir 3g francs sur cinq si on si la probabilité de réussir un g france et 80% alors maintenant on va se demander quelque chose d'un peu plus un peu plus intéressant peut-être je vais faire un peu de place alors on va se demander maintenant quelle est la probabilité je vais faire dans une autre couleur quelle est la probabilité de réussir de réussir au moins au moins 3g 3g francs sur les 5 c'est peut-être à cette question là qu'on a envie de répondre le plus souvent alors pour faire ça je vais me dire bon réussir au moins 3 g francs sur cinq ça veut dire que jean réussi soit jean réussi 3 soit jean réussi quatre soit gens réussissent 5 donc ça je vais pouvoir dire que c'est la probabilité de réussir je vais faire trois succès je vais décrire comme ça trois succès sur cinq donc ça c'est celle qu'on a déjà calculé plus la probabilité d'avoir quatre succès sur cinq plus la probabilité d'avoir cinq succès sur cinq voilà dans ces cas là j'ai là géré recenser toutes les manières de réussir au moins 3 g francs sur cinq soit jean réussi trois songe en russie 4 soit jean réussi 5 voilà alors bon ça on l'a déjà calculé c'est alors j'ai vu c'est 20,48 20 48% alors maintenant on va calculer la probabilité de réussir quatre succès sur cinq alors probabilité d'avoir quatre succès sur cinq alors je vais faire exactement comme tout à l'heure je vais commencer par regarder la probabilité d'une issue favorable à ça donc d'avoir quatre succès sur cinq donc c'est par exemple une issue de ce genre là c'est succès succès succès succès et puis échec ou alors on pourrait dire aussi succès succès échec succès succès un bon la probabilité de cette issue la c-zéro 8 x 0,8 fois 0,8 fois 08 encore pour le quatrième succès fois 0-2 voilà et donc ça on va pouvoir leur écrire comme 08 puissance quatre fois 0.2 exactement le même raisonnement que tout à l'heure la probabilité de cette issue la succès succès et chaque succès succès c'est exactement la même et en fait chaque issue où on a quatre succès sur les cinq ans aura cette probabilité l'a donc maintenant il faut qu'on compte le nombre de manière d'avoir quatre succès sur cinq et ça on sait le faire puisque en fait c'est le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi cinq donc finalement la propre la probabilité d'avoir quatre succès sur cinq je vais pouvoir écrire que c'est le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 5 ce que je note comme ça x 0,8 puissance 4 x 0 2 voilà alors le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 5 c'est alors 5 factorielle sur 5 - 4 factorielle ça je vais l'écrire tout de suite hein hein factorielle donc c'est un x 4 factorielle donc ici je vais aller un peu vite 1,5 factorielle ses 5 x 4 factorielle donc finalement j'ai ici 5 sur un donc ça fait 5 donc la probabilité d'avoir 4 6 4 de réussir 4g france sur les cinq c4 c5 pardon x 0,8 puissance quatre fois 0-2 alors ça je vais le calculer avec la calculatrice donc ça me fait 5 x 0,8 puis ans quatre fois 0,2 ça fait 01 40 96 01 40 96 donc c'est 40,96 % donc d'environ 41 cas sur cent je vais réussir 4g france sur les cinq alors ça je vais de noter ici donc ça c'est 40,96 % alors maintenant je vais calculer la probabilité d'avoir cinq sur cinq succès sur cinq je peux faire exactement de la même manière alors je vais d'abord calculer la probabilité d'une issue ou g5 sur succès sur cinq alors en fait il ya qu une seule façon de le faire c'est succès succès succès succès succès c'est la seule possibilité est donc là la probabilité ces 08 x 0,8 fois 0,8 à chaque fois c'est 0 8 x 0,8 encore x 0,8 donc c'est 08 puissance 5 donc la probabilité de réussir alors je vais l'écrire comme ça la probabilité de réussir cinq d'avoir cinq succès sur cinq et bien c'est 08 puissante 5 puisqu'il ya qu une seule possibilité c'est celle là alors ça je vais le faire avec la calculatrice alors 08 puis 105,08 puissance 5 ça me donne 0,32 768 0,30 2 768 donc c'est à dire 32,7 168% donc s'achever le noter ici c'est 32,7 168% alors maintenant la probabilité de réussir au moins 3 g france sur les cinq je vais faire pour trouver ça je vais faire la somme de ces bourses de ces probabilités que j'ai calculé ici alors ça nous donne 20,48 plus 40,96 +30 2,768 ce qui fait 94 208 donc je vais l'écrire ici 94 94 208% voilà alors là j'ai opté gg additionner les probabilités exprimé en pourcentage donc j'obtiens directement un résultat exprimé en pourcentage on aurait pu additionnez plutôt les écritures décima l'un de ces probabilités on aurait obtenu à ce moment là la probabilité en écriture décimales voilà donc on a 80 % de chances de réussir au moins 3 g francs sur cinq et ça se comprend parce que on est parti d'une probabilité de réussir un jet franc de 80% ce qui évite ce qui est très élevé donc avec une probabilité de ré de réussite aussi élevé eh ben on a très forte probabilité de réussir au moins 3 g france sur les cinq