Contenu principal

Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 13

Leçon 3: Somme de deux variables aléatoires

Somme ou différence de variables aléatoires

Effet sur l'espérance, la variance et l'écart-type

On peut définir une nouvelle variable aléatoire en additionnant ou en soustrayant deux (ou plusieurs) variables aléatoires. Connaissant les espérances et les écarts-types de ces variables, on peut alors en déduire l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire somme ou différence.

L'espérance de la variable aléatoire somme (différence) est la somme (différence) des espérances des variables. La variance de la variable aléatoire somme (différence) est la somme des variances de ces variables à condition que ces variables soient indépendantes.

	Espérance	Variance
Somme : $T = X + Y$ ‍	$μ_{T} = μ_{X} + μ_{Y}$ ‍	$σ_{T}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍
Différence : $D = X - Y$ ‍	$μ_{D} = μ_{X} - μ_{Y}$ ‍	$σ_{D}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍

Ce qu'il faut savoir concernant la variance :

S'assurer que les variables aléatoires sont indépendantes ou que l'on peut raisonnablement le supposer.
On additionne toujours les variances même dans le cas d'une variable aléatoire différence.
On calcule ensuite l'écart-type de la variable somme ou différence en prenant la racine carrée de la somme des variances.

Exemple 1 : Établir l’indépendance

Pour calculer la variance de la variable aléatoire somme ou différence de deux variables aléatoires, il faut savoir ou raisonnablement supposer que ces deux variables sont indépendantes.

QUESTION A (Exemple 1)

Pour quel couple de variables peut-on admettre qu'elles sont indépendantes ?

(Choix A)
$T$ ‍ : l'âge d'un professeur du lycée choisi aléatoirement
$S$ ‍ : l'âge d'un élève du lycée choisi aléatoirement
(Choix B)
$S$ ‍ : Le nombre d'heures de sommeil d'un jour donné d'une personne choisie aléatoirement
$A$ ‍ : Le nombre d'heures d'éveil du même jour de cette personne
(Choix C)
$I$ ‍ : Le revenu annuel d'une personne choisie aléatoirement
$C$ ‍ : La dépense annuelle en vêtements de cette personne

Exemple 2 : Notes au test SAT

Environ 1,7 millions d’élèves américains ont passé le SAT en 2015. Chaque élève a obtenu une note en lecture et une note en mathématiques.

On donne les statistiques du test SAT en 2015 :

Matière	Moyenne	Écart-type
Lecture	$μ_{L} = 495$ ‍	$σ_{L} = 116$ ‍
Mathématiques	$μ_{M} = 511$ ‍	$σ_{M} = 120$ ‍
Total	$μ_{T} = ?$ ‍	$σ_{T} = ?$ ‍

Supposons que l'on choisit aléatoirement un élève parmi la population des élèves ayant passé le SAT en 2015.

Question A (Exemple 2)

Quel est l'espérance de la variable aléatoire égale à la somme des notes obtenues par un élève en lecture et en mathématiques ?

Question B (Exemple 2)

Quel est l'écart-type de la variable aléatoire égale à la somme des notes obtenues par un élève en lecture et en mathématiques ?

Exemple 3 : Contrôle d'un produit

La conformité d'un produit est réalisé par

4

contrôleurs qualités successivement. L'espérance du temps nécessaire à chaque contrôleur pour inspecter le produit est de

30

secondes et l'écart-type de ce temps est de

6

secondes. De plus, le temps nécessaire à un contrôleur pour inspecter le produit ne dépend pas du temps nécessaire à un autre contrôleur pour inspecter le produit.

On désigne par

T

le temps nécessaire aux

4

contrôleurs pour inspecter un produit choisi aléatoirement.

Question A (Exemple 3)

Quelle est l'espérance de la variable aléatoire $T$ ‍ égale au temps nécessaire aux $4$ ‍ contrôleurs pour inspecter un produit choisi aléatoirement ?

Question B (Exemple 3)

Quel est l'écart-type de la variable aléatoire $T$ ‍ égale au temps nécessaire aux $4$ ‍ contrôleurs pour inspecter un produit choisi aléatoirement ?

Exemple 4 : Différence de tailles

Un sociologue a mené une enquête auprès d'un échantillon aléatoire de militaires dans un pays afin d'étudier la différence de taille entre les hommes et les femmes. Il a obtenu les résultats suivants :

Dans cet échantillon, on choisit aléatoirement un homme et une femme et on étudie la différence entre leurs tailles. On note

H

la variable aléatoire égale à la taille de l'homme et

F

la variable aléatoire égale à la taille de la femme.

D

est la variable aléatoire "différence de taille" :

D = H - F

	Moyenne	Écart-type
Homme	$μ_{H} = 178 cm$ ‍	$σ_{H} = 7 cm$ ‍
Femme	$μ_{F} = 164 cm$ ‍	$σ_{F} = 6 cm$ ‍
Difference	$μ_{D} = ?$ ‍	$σ_{D} = ?$ ‍

Question A (Exemple 4)

Quelle est l'espérance de la variable aléatoire différence entre les deux tailles ?

Question B (Exemple 4)

Quel est l’écart-type de la variable aléatoire différence entre les deux tailles ?

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

Pas encore de posts.

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.