Loi de Poisson (2 sur 2)

alors là je crois qu'on a tout ce qu'il nous faut pour déterminer de l'expression de la loi de poissons alors je vais rappeler un petit peu ce qu'on a fait dans la dernière vidéo on s'était assis un endroit dans une route sur une dans une rue et on avait regardé le nombre de voitures qui passaient en une heure donc on avait défini une variable aléatoire grand x et ont quitté le nombre de voitures qui passent en une heure donnée voilà et puis on avait calculé plusieurs heures de suite le nombre de voitures qui passaient on avait réussi à trouver une bonne estimation de la moyenne donc de l'espérance mathématique de notre variable x puis après ce qu'on avait essayé de faire c'était de modéliser sa part une loi binomiale et donc décrire cette moyenne lambda l'espérance mathématique comme le produit de deux nombres ce que nombre la haine qui serait le nombre d'essai et ce nombre la paix qui serait le nombre de succès alors je reprends un peu ça donc on a notre variable aléatoire x dont on a mesuré en fait calculés une estimation de l'espérance mathématique mesurant plusieurs heures de suite le nombre de voitures qui passaient cette espérance mathématiques bon l'appel lambda ça c'est parce que tu verras que c'est un paramètre de la loi de poissons hein traditionnellement on l'appelle on note comme ça et on a essayé de modéliser sa part une loi binomiale c'est à dire que dans le cas d'une loi de binomiale et bien cette cette espérance mathématiques elle va s'exprimer comme le produit de deux nombres le nombre des cn fois la probabilité d'un succès alors là ce qu'on a vu c'est que cette cette espérance mathématiques ça c'est le nombre de succés nombre de succès en une heure en une heure alors on a fait plusieurs tentatives la dernière dans la dernière vidéo on a d'abord divisé notre heure en minute donc dans ce cas là ça sera le nombre d'essai ça sera à 60 puisqu'il va y avoir 60 minutes donc ça c'est le nombre d'essai et donc c'est le nombre de division 1 le nombre de divisions qu'on fait de notre heure en fait c'est exactement ça et ce nombre pailhas et le nom la probabilité la probabilité de succès dans l'intervalle dans l'intervalle voilà alors on avait fait plusieurs essais la dernière fois on a d'abord essayé de diviser notre heure en minute et puis donc on avait 60 60 et c'est avec une probabilité de lambda donc lambda / 60 c'est la probabilité de succès dans un intervalle d'une minute et puis ce qu'on s'était dit c'est qu'il pouvait très bien y avoir plusieurs voitures qui passaient dans une même minute donc on avait redit viser ça en seconde au lieu de diviser notre heures en 60 minutes on l'avait dit viser en 3600 secondes et du coup on avait ici n qui était égal à 3600 secondes donc 3600 et c est une probabilité de succès dans l'ain dans cet intervalle d'une seconde qui était de lambda / 3600 et puis là on s'était dit bien il peut se passer encore la même chose c'est-à-dire qu'on peut avoir aussi cette fois ci plusieurs plusieurs voitures qui passent un intervalle de moins d'une seconde l'une de l'autre donc on en était venu à penser que pour modéliser ça correctement il fallait passer à la limite quand elle tend vers plus l'infini c'est à dire qu'il fallait diviser notre intervalle d'une heure en une infinité de partie alors là c'est ce qu'on va faire et puis on va avoir quelle formule i sort de saab donc ce qu'on va faire ici sait calculer la probabilité que notre variable x soit égal à caracas une valeur donnée par exemple peut être 3 donc à ce moment-là on calculerait la probabilité que x ou est égal à 3 c'est à dire qu'il ya eu trois voitures qui doit passer en une heure à cet endroit là et ça on va là calculé comme ce que je viens de dire en fait c'est comme la limite la limite quand elle tend vers plus l'infini de la loi binomiale c'est à dire de cette expression là là le nombre de combinaisons de cas éléments parmi n x la probabilité de succès alors ici la probabilité de succès ça sera lambda suresnes lambda suresnes élevé à la puissance qu'à multiplier encore par la probabilité de rater donc d'un succès qui sera le complémentaire de ça c'est à dire 1 - lambda suresnes élevé à la puissance qu'a pardon n - cas du coup faut bien comprendre c'est que on a divisé notre notre heure en partie est que plus ce n est grand plus les évidemment les intervalles qu'on considère sont très très petit donc en fait on s'approche d'un stand de temps donc là par exemple si je regarde la probabilité que x soit égal à 3 ça veut dire que dans mon heure je vais avoir en fait choisi trois instants de temps où il y aura une voiture qui sera passée si je prends x égal à 7 je vais avoir ici cet instant parmi tous les instants qui constitue mon heure pendant lesquelles une voiture sera passée alors il ya une chose que j'ai pas trop clarifier peut peut-être que je peux détailler un petit peu c'est cette histoire de p1 ici aussi on écrit lambda égale une fois p ça veut dire tout simplement que paix est égal à lambda suresnes donc la probabilité de succès c'est effectivement lambda suresnes ça je l'avais fait dans l'autre vidéo peut-être mieux que je leur dise ici aussi donc là qu'est ce que je vais essayer de simplifier ça donc je vais changer de couleur donc la première chose je vais remplacer le nombre de combinaisons de cas éléments parmi elles par sa valeur donc je réécris limites quand haine envers plus le fini ça du coup le nombre de combinaisons de créer éléments parmi n est bien cn factorielle sûr qu'un factorielle fois n moins qu'à factorielle multiplier alors ça je vais les réécrire la lambda suresnes élevé à la puissance cas je vais l'écrire comme ça c'est lambda puissance qu à suresnes puissance cas et puis la parenthèse qui est là je vais tout simplement séparé les exposants donc je vais écrire ça comme ça 1 - lambda suresnes puissance n x 1 - lambda suresnes puissance - carrelage et la même base si je multiplie je vais additionner les exposants donc j'ai bien retrouver sa voix là en fait je prends la limite pour rennes qui tend vers plus cela finit de toute cette expression là ou alors qu'est ce qu'on peut faire avec cette expression là bas déjà on va utiliser ce qu'on a vu dans la dernière vidéo qui concernait les factorielle donc ce qu'on avait dit c'était que cette partie là 1n factorielle suresnes moins qu'à factorielle ça c'est quelque chose qu'on a rencontrés très souvent et bien c'est tout simplement n x n moins 1 fois aime moins deux fois n - cac +1 ça c'est ce qu'on a vu dans la dernière vidéo et ce qui est important c'est de se rappeler qu' il ya ici il ya qu'à terme ça c'est le premier terme ça c'est le deuxième ça c'est le troisième mais hélas c'est le cayenne terme kayem voilà alors du coup on va pouvoir réécrire notre limite comme ça donc je vais leur écrire comme ici p 2 x égale qu'à ça sera du coup la limite quand elle tend vers plus l'infini je vais réécrire mais en réorganisant un petit peu comme ça m'intéresse alors déjà ici je vais bon c'est comme toute cette partie là je peux considérer que le dénominateur seca factorielle fois être moins qu'à factorielle fois n puissance qu'a donc je peut intervertir l'ordre comme je veux et ce que je vais faire c'est que je vais écrire ça comme ça lambda puissance qu'a / k factorielle x alors ici j'aurais du coup cette partie là n factorielle suresnes moins qu'à factorielle ce que j'ai écrit en bleu ici / npn puissance qu'a donc je vais en fait je vais l'écrire comme ça donc ça je sais que c'est n x n moins 1 fois n - 2 x x x jusqu'à n - cac +1 voilà tout ça / n puissance qu'a ensuite je dois x bon là je ne vais rien faire de spécial je vais juste écrire que c'est un moins lambda suresnes puissance n x 1 - lambda suresnes puissance - k et je ferme les crochets voilà alors maintenant je vais essayer de calculer cette limite et pour faire ça je vais utiliser résultat très important sûrement que tu connais mais en tout cas je vais le rappeler ici c'est que quand je prends la limite n'importe quelles limites quand x d'anvers plus l'infini 0 ou n'importe quel autre valeur d'un produit f 2 x x g2x et bien en fait j'obtiens la limite le produit des deux limites pardon donc la limite quand x temps vers hm2f 2 x x la limite quand x temps vera de g2x voilà ça c'est un résultat général important tu l'a sûrement déjà vu du coup on va pouvoir séparer les différents facteurs ici est calculé séparément leurs limites alors c'est ce qu'on va faire donc ici en fait déjà j'ai ce terme là alors ce terme qui est ici celui là il est constant donc je peux déjà c'est quelque chose de pas mal je peux le sortir de la limite puisqu'ils elle n'apparaît pas dans cette expression là donc je vais avoir ici c'est lambda puissance qu'a sûr qu'à factorielle x la limite alors je reprends mon jaune la limite quand n d'anvers plus l'infini de cette expression là alors c'est n x n moins 1 fois jusqu'à fois n - cas + 1 / n puissance qu'a fois la limite quand elle tend vers plus l'infini 2 alors je vais écrire comme ça hein - lambda suresnes puissance n ça c'est ce facteur qui est ici multiplier encore par le dernier de la limite du dernier facteur donc la limite quand end en verre plus l'infini de 1 - lambda suresnes puissance - k voilà alors bon on va y aller séparément je fais un peu de place qu'est ce qu'on peut dire de cette cette expression là qui est ici si on imagine de développer tous à ce qu'on va avoir c'est alors je vais l'écrire ici n x n moins 1 fois n - 2 x n - cac +1 le tout divisé par une puissance cas et bien en fait si on imagine donc de développer tout ça on va avoir une fois n donc scène au carré fois n n au cube fois n encore en fait on va avoir quelque chose qui va être du style n puissance cas plus quelque chose x n puissance cas - un plus ainsi de suite on va avoir du coup une expression en fait un polynôme 2° cas en laine dont le premier qui coefficient sera un les autres on sait pas ce que c'est mais bon ça va pas être très important parce qu'en fait nous ce qu'on veut c'est uniquement de la limite 1 donc ici on doit diviser pour tous à part n puissance qu à l puissance qu'a donc en fait la meilleure façon de faire c'est de factoriser en haut et en bas par le terme de plus haut de plus aux exposants de plus haut degré donc voix divine factory 0n puissance qu'a donc on aura un plus quelque chose on peut appeler ça un suresnes plus quelque chose d'autre à 2 sur aisne au carré et puis on peut faire ça du coup pour chaque terme et le dernier ça sera quelque chose du style aka / n puissance car probablement voilà donc et ensuite on divise tout sa part n puissance cas alors là évidemment les premiers terme se simplifient donc il nous reste cette parenthèse d'abord ce qui est important c'est que cette parenthèse là en fait quand haine envers plus l'infini ça ça tend vers zéro ça ça tend vers zéro aussi ça ça tend vers zéro aussi en fait chaque terme tend vers zéro sauf le premier qui est égal à 1 donc finalement la limite la limite quand n temps vers plus l'infini de cette expression là je vais leur écrire ici n x n moins 1 fois n - 2 jusqu'à n - cas + 1 / n puissance cas et bien ça c'est égal à 1 ça c'est déjà pas mal alors il nous reste ensuite à calculer ces deux limites là alors celle qui est ici celle là je vais l'encadrer en rose on en a parlé dans la dernière vidéo en fait très précisément dans la dernière vidéo on avait dit que la limite quand n temps vers plus l'infini 2 1 + à suresnes puissance n c'était égal et à eux puissance alors ici on n'a pas à suresnes on a moins lambda suresnes donc cette limite là je vais l'écrire ici la limite en haine envers plus l'infini de 1 - lambda suresnes le taux élevé à la puissance n est bien c e puissance - lambda tout simplement voilà ça ça vient de ce qu'on avait déjà dit dans la dernière vidéo alors maintenant il nous reste plus que la dernière limite qui est ici celle qui est là ce qui va pas être très compliqué a calculé parce que en fait je vais leur écrire ici la limite quand elle tend vers plus l'infini de cette expression là alors 1 - lambda suresnes puissance - k alors ici il expose en moins qu'à ne contient pas n donc en fait la seule chose qui va changer c'est lambda suresnes sa seule chose qui dépend de haine donc quand on tend vers plus l'infini lan - lambda suresnes tend vers zéro donc la parenthèse tend vers un élevé à la puissance mwen ka sat envers un aussi donc en fait cette limite la c1 voilà on a calculé toutes les limites alors maintenant je vais pouvoir écrire le résultat final donc la probabilité que la variable x prennent une valeur égale à cas eh bien ça va être ce facteur 6 lambda d'écrire au vert lambda puissance qu'a / k factorielle x ce facteur là de puissance - lambda alors voilà ça ça c'est l'expression de la loi de poissons la probabilité qu'une variable qui suit une loi de poisson au soit égal à cas elle est donnée par cette expression là et alors c'est ce qui est intéressant c'est que quand on la regarde comme ça on pourrait absolument pas imaginer qu'elle provient d'une loi binomiale mais nous on a effectivement calculé comme ça comme un cas limite d'une loi binomiale donc ça c'est intéressant à bien comprendre si on regarde cette expression dont il ya des factorielle mais rien rien ne fait penser alors à la loi binomiale alors qu'on l'a effectivement calculé comme la limite d'une probabilité binomiale voilà donc ça c'était quand même un point de vue intéressant pour découvrir cette loi de poisson mais non bon c'est pas la seule chose il faudrait il faut savoir l'appliquer donc de nouveau si tu te mets dans la peau d'un ingénieur de la circulation et tu va mesurer la moyenne des voitures qui passent en une heure en une heure donnée avec les suppositions qu'on a faites au début de la prochaine la précédente vidéo pardon c'est à dire que les heures sont les mêmes elles se ressemblent et à l'intérieur d'une heure les seconds se ressemblent aussi enfin les intervalles se ressemblent aussi et puis là on va dire que tu déterminé par la mesure que en moyenne il ya donc lambda c'est égal à nous on va dire 9,9 voiture neuf voitures par heure voilà ça c'est le nombre d'heures le nombre de voitures qui passent en 1h tels que tu as pu le mesurer en faisant plusieurs essais alors maintenant si tu te situes veut calculer la probabilité que la variable x prennent la valeur 2 c'est à dire donc la probabilité que deux voitures soient passés en une heure donnée eh bien tu vas appliqué cette formule là donc ça va être neuf lambda c'est neuf donc ça va être neuf puissance cac qui est égal à 2 donc neuf au carré / 2 factorielle qu'un factorielle ici qu'à est égal à 2 x e puissance - lambda c'est à dire que puissance - 9 alors ça dont neuf au carré ça fait 81 et puis deux factorielle ça fait deux dons qu'on aurait 80 1 / 2 x e puissance - 9 alors là je vais le faire avec la calculatrice évidemment alors 81 1 / 2 x alors je vais écrire ça comme ça e puissance moins neuf et ça me donne 0,005 on dira au millième donc c'est à peu près 0,005 qu'en jargon on dit au millième voilà bah je te laisse revoir tranquillement cette de vidéos sur la loi de poisson fait faire quelques essais toi même avec d'autres paramètres avec un autre paramètre et puis on se retrouve dans la prochaine vidéo