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Contenu principal

Les nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe.
L'équation x, squared, equals, minus, 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels, mais elle en a deux dans un nouvel ensemble de nombres qui est appelé l'ensemble des nombres complexes.
Le nombre i est à la base de l'ensemble des complexes.
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Les nombres de la forme b, i, où b est un réel différent de 0, comme par exemple, 3, i, i, square root of, 5, end square root ou minus, 12, i sont appelés des imaginaires purs.
Les nombres de la forme a, plus, i, ba et b sont des réels différents de 0, par exemple, 2, plus, 7, i ou 3, minus, square root of, 2, end square root, i sont appelés des nombres complexes.

Définition

L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, où start color #1fab54, a, end color #1fab54 et start color #11accd, b, end color #11accd sont des réels.
a+ibiPartiePartiereˊelleimaginaire\begin{array}{ccc} \Large\greenD a&\Large+&i\Large \blueD b \\ \uparrow&&\uparrow\phantom{i} \\ \text{Partie}&&\text{Partie} \\ \text{réelle}&&\text{imaginaire} \end{array}
Si z, equals, a, plus, i, b, start color #1fab54, a, end color #1fab54 est la partie start color #1fab54, start text, r, e, with, \', on top, e, l, l, e, end text, end color #1fab54 de z et start color #11accd, b, end color #11accd est sa partie start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, i, r, e, end text, end color #11accd.
Voici des exemples. Pour identifier la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe, ce peut être une bonne habitude d'écrire ce nombre sous la forme a, plus, b, i.
NombreForme start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iPartie réelle et partie imaginaire
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iSa partie réelle est start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 et sa partie imaginaire est start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iSa partie réelle start color #1fab54, 4, end color #1fab54 et sa partie imaginaire est start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iSa partie réelle start color #1fab54, 0, end color #1fab54 et sa partie imaginaire est start color #11accd, 9, end color #11accd
minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iSa partie réelle start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 et sa partie imaginaire est start color #11accd, 0, end color #11accd

À vous !

Exercice 1
Quelle est la partie réelle de 13, comma, 2, i, plus, 1, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 2
Quelle est la partie imaginaire de 21, minus, 14, i, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 3
Quelle est la partie réelle de 17, i, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Les sous-ensembles de l'ensemble C des nombres complexes

L'ensemble des réels et l'ensemble des imaginaires purs sont des sous-ensembles de l'ensemble des complexes. En effet,
Un imaginaire pur est un nombre de la forme start text, a, plus, b, i, end text avec start text, a, =, 0, end text.
De même, un réel est un nombre de la forme start text, a, plus, b, i, end text avec start text, b, =, 0, end text.
Donc tout nombre de l'ensemble des imaginaires purs appartient à l'ensemble C des nombres complexes et tout nombre de l'ensemble des réels appartient à l'ensemble C des nombres complexes
Un nombre complexe tel que 4, plus, 2, i n'est ni un réel, ni un imaginaire pur.
Nombres complexes4+2i35iReˊels512,23Imaginaires purs5i12,2i3i\purpleD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Nombres complexes} \\\\ \begin{array}{lcr} 4+2i&&-3-\sqrt 5 i \end{array} \\\\ \goldD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Réels} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5&-12{,}2&3 \end{array} \end{array}}} \\\\ \maroonD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Imaginaires purs} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5 i&-12{,}2i&3i \end{array} \end{array}}} \end{array}}}

Une question

Cette proposition est-elle vraie ?
Un nombre complexe est soit un réel, soit un imaginaire pur.
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Exemples

Voici cinq exemples de nombres complexes :
Reˊel(b=0)\begin{aligned}&\text{Réel}\\&(b=0)\end{aligned}Imaginaire pur(a=0)\begin{aligned}&\text{Imaginaire pur}\\&(a=0)\end{aligned}Complexe(a+bi)\begin{aligned}&\text{Complexe}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1,3i(0+(1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1{,}3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
NB. Les cinq nombres donnés sont tous des nombres complexes.

A vous !

Exercice 4
minus, 2, plus, 3, i est-il un réel, un imaginaire pur, un nombre complexe ?
Choisissez toutes les réponses possibles :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Exercice 5
10, comma, 2 est-il un réel, un imaginaire pur, un nombre complexe ?
Choisissez toutes les réponses possibles :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Exercice 6
minus, 17, i est-il un réel, un imaginaire pur, un nombre complexe ?
Choisissez toutes les réponses possibles :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Pourquoi les nombres complexes sont-ils importants ?

A quoi servent-ils ? Peut-être ne le croirez-vous pas, mais ils ont beaucoup d'applications, par exemple en électricité ou en mécanique quantique, pour ne citer que ces deux exemples.
En algèbre, on démontre que tout polynôme quel que soit son degré a des racines dans l'ensemble des complexes.
Par exemple, le polynôme p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, plus, 5 qui n'a pas de racines dans l'ensemble des réels a deux racines dans l'ensemble des complexes : 1, plus, 2, i et 1, minus, 2, i.
Cette leçon n'est que le début d'une longue histoire...

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  • piceratops tree style l'avatar de l’utilisateur Mathis Peyronne
    Dans les deux dernier paragraphe de "Pourquoi les nombres complexes sont-ils importants ?" vous vouliez pas plutot dire "reponse" a la place de "racines". a part ca merci beaucoup pour vos cours gratuit
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Benoît Seutin
    Au début de cette partie, vous faites allusion à quelque chose qui a été vue précédemment: "Comme nous l'avons vu dans une précédente leçon", "Nous avions étudié les nombres de la forme bi". Il faudrait dès lors préciser par un lien car cette partie est le tout début des nombres complexes...
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Mikael Joyal Nadeau
    Vous écrivez que 0i est un nombre imaginaire et plus bas vous inscrivez que la forme a+bi b=0 est un nombre réel...explication ?
    (1 vote)
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