C'est tres enervant et decourageant, vous nous proposez la video avant les exercices, on ne sait donc pas ce qui est atendu de nous et on ne parvient pas a mettre la video en contexte.

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Terminales professionnelles

Cours : Terminales professionnelles > Chapitre 7

Leçon 1: Nombres complexes : point de vue algébrique L'ensemble ℂ des nombres complexes

Le nombre i

Google Classroom

Découverte du nombre i, des nombres complexes et des nombres dont le carré est négatif.

Certaines équations du second degré n'ont pas de solution réelle.

Par exemple, il n'existe pas de réel solution de l'équation

x^{2} = - 1

car il n'existe pas de réel dont le carré est négatif.

Mais l'équation

x^{2} = - 1

a une solution dans l'ensemble des nombres complexes. Nous allons voir pourquoi et nous allons définir le sous-ensemble de l'ensemble des nombres complexes appelé l'ensemble des imaginaires purs.

Le nombre i

Le nombre $i$ ‍ est à la base de l'ensemble des complexes.

Il est défini par :

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

Donc

i

est solution de l'équation

x^{2} = - 1

Les imaginaires purs

Si on multiplie le nombre

i

par un nombre réel différent de

0

, on obtient ce qu'on appelle un imaginaire pur.

Par exemple,

3 i

i \sqrt{5}

- 12 i

sont des imaginaires purs. Tout nombre de la forme

b i

où

b

est différent de

0

est un imaginaire pur.

Quel résultat obtient-on si on élève

3 i

au carré ?

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

Mais

i^{2} = - 1

, donc ;

$\begin{aligned} 9 i^{2} = 9 \times (- 1) = - 9 \end{aligned}$ ‍

(3 i)^{2} = - 9

donc un des nombres dont le carré est

- 9

est

3 i

À vous !

Calculer $(4 i)^{2}$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Quel est celui de ces deux nombres dont le carré est $- 16 ?$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

Les imaginaires purs sont les nombres dont le carré est négatif.

Utiliser les imaginaires purs

Voici des exemples :

Une racine carrée	Un imaginaire pur qui lui est égal
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Quelle règle appliquer ?

On prend le premier exemple :

Egalité	Démarche
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	Les racines carrées de $- 9$ ‍ sont des imaginaires purs. L'un des nombres dont le carré est $9$ ‍ est $3$ ‍, donc l'un des imaginaires purs dont le carré est moins $9$ ‍ est le produit de $3$ ‍ par $i$ ‍ c'est-à-dire $3 i$ ‍.

Par définition :

Quel que soit $a > 0$ ‍, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

On prend un autre exemple.

Exemple

Écrire

\sqrt{- 18}

en fonction de

i

Réponse

- 18

est négatif donc

\sqrt{- 18}

est un imaginaire pur et par définition,

\sqrt{- 18} = i \sqrt{18}

On simplifie

\sqrt{18}

Voici le déroulement du calcul :

\begin{aligned} Pour tout a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} & \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} \\ 18 est le double de 9 & = i \times \sqrt{9 \times 2} \\ \sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} si a, b \geq 0 & = i \sqrt{9} \times \sqrt{2} \\ \sqrt{9} = 3 & = i \times 3 \times \sqrt{2} \\ La multiplication est commutative & = 3 i \sqrt{2} \end{aligned}

Donc,

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

[Est-il possible d'avoir un autre exemple ?]

À vous !

Exercice 1

Écrire $\sqrt{- 25}$ ‍ en fonction de $i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exercice 2

Écrire $\sqrt{- 10}$ ‍ en fonction de $i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exercice 3

Écrire $\sqrt{- 24}$ ‍ en fonction de $i$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Pourquoi avoir créé les nombres imaginaires ?

La réponse est simple. Le nombre

i

permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution réelle.

Il faut bien réaliser que c'est une erreur de dire "cette équation n'a pas de solution" ou "cette équation a une solution" car tout dépend de l'ensemble de nombres considéré. On devrait dire "cette équation n'a pas de solution dans tel ensemble de nombres" ou "cette équation a une solution dans tel ensemble de nombres".

Par exemple :

L'équation $x + 8 = 1$ ‍ n'a pas de solution dans l'ensemble des naturels, mais elle en a une dans l'ensemble des entiers.
L'équation $3 x - 1 = 0$ ‍ n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers, mais elle en a une dans l'ensemble des rationnels.
L'équation $x^{2} = 2$ ‍ n'a pas de solution dans l'ensemble des rationnels, mais elle en a une dans l'ensemble des irrationnels.

Et de même l'équation

x^{2} = - 1

n'a pas de solution dans l'ensemble des réels, mais elle en a une dans l'ensemble des imaginaires purs.

Nous avons défini ici l'ensemble des imaginaires purs. La prochaine étape sera de définir l'ensemble des complexes.

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tbauwens
Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de tbauwens «C'est tres enervant et de ... »
C'est tres enervant et decourageant, vous nous proposez la video avant les exercices, on ne sait donc pas ce qui est atendu de nous et on ne parvient pas a mettre la video en contexte.
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- myb.denoo
  Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de myb.denoo «La vidéo introduit les no ... »
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