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Diviser deux nombres complexes

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La division dans l'ensemble des complexes

Diviser un nombre complexe par un nombre réel est simple. Par exemple :
2+3i4=24+34i=0,5+0,75i\begin{aligned} \dfrac{2+3i}{4}&=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}i \\\\ &=0{,}5+0{,}75i \end{aligned}
Diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe n'est pas aussi simple. Exemple :
=204i3+2i=204i3+2i×32i32i\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{20-4i}{3+2i} \\\\ &=\dfrac{20-4i}{3+2i}\times\dfrac{3-2i}{3-2i} \end{aligned}
Si on multiplie les deux termes de la fraction par le conjugué du dénominateur, on obtient une fraction égale dont le dénominateur est un nombre réel :
=(204i)(32i)(3+2i)(32i)=5252i13\begin{aligned} &=\dfrac{(20-4i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} \\\\ &=\dfrac{52-52i}{13} \end{aligned}
A retenir : le produit de a, plus, i, b par son conjugué a, minus, i, b est égal à a, squared, plus, b, squared.
=52135213i=44i\begin{aligned} &=\dfrac{52}{13}-\dfrac{52}{13}i \\\\ &=4-4i \end{aligned}

À vous !

Exercice 1
start fraction, 4, plus, 2, i, divided by, minus, 1, plus, i, end fraction, equals

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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  • leafers seedling style l'avatar de l’utilisateur PocketJo
    "A retenir : le produit de a+ib par son conjugué a-ib est égal à a^2+b^2"

    Ce n'est pas plutôt égal à a^2-b^2 selon les identités remarquables ?
    (1 vote)
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