Probabilité de l'événement A ᑎ B

L'objet de cette leçon est de faire le point sur le calcul de la probabilité de l’événement $\text{A}$‍ $ᑎ$‍ $\text{B}$‍.

$A$‍ et $B$‍ sont des événements dépendants si la probabilité de l'un des deux événements change selon que l'autre est réalisé ou ne l'est pas.

$A$‍ et $B$‍ sont des événements indépendants si la probabilité de l'un des deux événements n'est pas modifiée par le fait que l'autre soit réalisé.

Lorsqu'on lance deux fois une pièce de monnaie non truquée, quelle est la probabilité d'obtenir "Face" aux deux lancers, autrement dit si $\text{A}$‍ est l'événement "obtenir Face au premier lancer" et $\text{B}$‍ l'événement "obtenir Face au deuxième lancer", quelle est la probabilité de l'événement $\text{A}$‍ $ᑎ$‍ $\text{B}$‍ ?

Si on lance une pièce de monnaie les issues possibles sont Pile et Face et si la pièce est non truquée la probabilité d'obtenir Face est égale à $1/2$‍, donc $p(\text{A})=1/2$‍. Si on lance une deuxième fois la pièce, les issues possibles sont aussi Pile et Face et quel que soit le résultat du premier lancer, la probabilité qu'elle tombe sur Face est encore égale à $1/2$‍, donc $p(\text{B})=1/2$‍. Les événements $\text{A}$‍ et $\text{B}$‍ sont indépendants.

L'univers associé au lancer d'une pièce de monnaie deux fois de suite est l'ensemble des couples dont le premier terme est le résultat du premier lancer et le deuxième terme le résultat du deuxième lancer. L'univers est donc constitué de $4$‍ issues : $(F,P)$‍, $(F,F)$‍, $(P,F)$‍, $(P,P)$‍. L'événement "obtenir Face au premier lancer" ET "obtenir Face au deuxième lancer" est constitué de la seule issue $(F,F)$‍. Si la pièce de monnaie est non truquée, les issues sont équiprobables, donc la probabilité de lévénement "obtenir Face au premier lancer" ET "obtenir Face au deuxième lancer" est égale à $1/4$‍.

Faire un arbre de probabilité vaut démonstration.

Les règles sont les suivantes : 1. Pour calculer la probabilité d'un événement figurant au bout d'une branche, on fait le produit des probabilités figurant sur les branches conduisant à cet événement. 2. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement. 3. La somme des probabilités des branches ayant même origine est égale à 1.

La probabilité d'obtenir "Face" aux deux lancers est :

On lance deux dés à $6$‍ faces non pipés.

Il y a $20$‍ billes dans un sac, $10$‍ bleues et $10$‍ rouges.

On tire une bille de ce sac puis sans remettre cette bille dans le sac, on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité que les deux billes tirées soient bleues ?

Soit $\text{A}$‍ l'événement "la première bille tirée est bleue" et $\text{B}$‍ l'événement "la deuxième bille tirée est bleue". On cherche la probabilité de l'événement $\text{A}$‍ $ᑎ$‍ $\text{B}$‍.

Au premier tirage, il y a $10$‍ billes de chaque couleur dans le sac donc la probabilité de $\text{A}$‍ est égale à $10/20$‍. La probabilité que la bille tirée au deuxième tirage soit bleue, c'est-à-dire la probabilité de $\text{B}$‍ dépend du résultat du premier tirage. Si la bille tirée au premier tirage est bleue, alors il reste $19$‍ billes dans le sac dont $9$‍ bleues donc la probabilité de $\text{B}$‍ est égale à $9/19$‍. Si la bille tirée au premier tirage est rouge, alors il reste $19$‍ billes dans le sac dont $10$‍ bleues donc la probabilité de $\text{B}$‍ est égale à $10/19$‍.

Voici l'arbre de probabilité :

La probabilité que les deux billes tirées soient bleues est :

Un professeur de philo a demandé à ses élèves de Terminale scientifique deux volontaires pour faire un exposé sur "Les mathématiques et la philosophie". $5$‍ élèves, $3$‍ filles et $2$‍ garçons, ont levé la main. Le professeur qui tient à ce qu'un exposé ne soit pas fait par plus de $2$‍ élèves a décidé de mettre le nom des $5$‍ candidats dans un chapeau et de tirer au sort.

et si on appelle probabilité de $\text{B}$‍ sachant $\text{A}$‍, la probabilité de l'événement $\text{B}$‍ sachant que l'événement $\text{A}$‍ est réalisé, notée $p(\text{B}|\text{A})$‍, alors,$$‍

Si les événements $\text{A}$‍ et $\text{B}$‍ sont indépendants, alors par définition, si l'événement $\text{A}$‍ est réalisé la probabilité de l'événement $\text{B}$‍ est la même que sa probabilité si l'événement $\text{A}$‍ n'est pas réalisé, donc la probabilité de $\text{B}$‍ sachant $\text{A}$‍ est égale à la probabilité de $\text{B}$‍ , ce qui s'écrit $p(\text{B}|\text{A})=p(\text{B})$‍.

Au final, quels que soient les événements $\text{A}$‍ et $\text{B}$‍, $p(\text{A}$‍ $ᑎ$‍ $\text{B})$‍$=p(\text{A})$‍ $\times$‍$p(\text{B}|\text{A})$‍