Contenu principal

Cours : Terminales technologiques > Chapitre 10

Leçon 1: Suites arithmétiques

Trois exercices

Pour s'entraîner

Exercice 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

On explicite la question.

On cherche la somme

a_{1} + … + a_{k} + … + a_{275}

(- 5 \times 1 + 12) + (- 5 \times 2 + 12) + … + (- 5 \times 275 + 12)

Le terme général est

a_{k} = - 5 k + 12

donc la suite

(a_{k})

est une suite arithmétique.

Formule

La somme

S_{n}

des

n

premiers termes d'une suite arithmétique est égale à

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n

a_{1}

est le premier terme de la somme,

a_{n}

le dernier terme et

n

le nombre de termes.

De quoi a-t-on besoin pour appliquer la formule ?

Le nombre de termes est

n = 275

On doit trouver le premier terme

a_{1}

et le dernier terme

a_{275}

Étape 1 : On calcule $a_{1}$ ‍ et $a_{275}$ ‍

a_{1} = - 5 \times 1 + 12 = 7

a_{275} = - 5 \times 275 + 12 = - 1363

Étape 2 : On applique la formule

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1363))}{2} \times 275 \\ S_{275} & = - 678 \times (275) \\ S_{275} & = - 186 450 \end{aligned}

La réponse

- 186 450

Exercice 2

La suite arithmétique

a_{i}

est définie par :

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

Calculer la somme des $335$ ‍ premiers termes de la suite.

On réfléchit

La somme à calculer est :

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

C'est la somme des termes d'une suite arithmétique car chacun des termes de la suite est égale à la somme du terme précédent et de

- 3

Pour calculer cette somme, il suffit d'appliquer la formule.

Formule

La somme

S_{n}

des

n

premiers termes d'une suite arithmétique est égale à

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n

a_{1}

est le premier terme de la somme,

a_{n}

le dernier terme et

n

le nombre de termes.

De quoi a-t-on besoin pour appliquer la formule ?

Le premier terme

a_{1} = 2

et le nombre de termes

n = 335

sont donnés dans l'énoncé.

On doit calculer le dernier terme

a_{n}

Étape 1 : On calcule le dernier terme $a_{n}$ ‍

Il y a

335 - 1 = 334

termes entre le premier terme de la somme et le dernier. La raison de la suite est égale à

- 3

. Donc le dernier terme est la somme du premier terme

2

et de

334 \times - 3 = - 1002

. Donc le dernier terme est

2 - 1002 = - 1000

Donc,

a_{n} = - 1000

Étape 2 : On applique la formule

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1000))}{2} \times 335 \\ S_{335} & = - 499 \times (335) \\ S_{335} & = - 167 165 \end{aligned}

La réponse

- 167 165

Exercice 3

Calculer la somme $- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2038 + 2044$ ‍.

On réfléchit

C'est la somme des termes d'une suite arithmétique car chacun des termes de la suite est égale à la somme du terme précédent et de

6

Pour calculer cette somme, il suffit d'appliquer la formule.

Formule

La somme

S_{n}

des

n

premiers termes d'une suite arithmétique est égale à

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n

a_{1}

est le premier terme de la somme,

a_{n}

le dernier terme et

n

le nombre de termes.

De quoi a-t-on besoin pour appliquer la formule ?

Le premier terme

a_{1} = - 50

et le dernier terme

a_{n} = 2044

sont donnés dans l'énoncé.

On doit calculer le nombre

n

de termes de la somme.

Étape 1 : On calcule le nombre de termes

La différence entre le dernier terme et le premier terme est égale à

2044 - (- 50) = 2094

. La raison de la suite est

6

\frac{2094}{6} = 349

donc il y a

349

termes entre le premier et le dernier terme. On ajoute le premier terme et on obtient

349 + 1 = 350

termes.

Donc,

n = 350

Étape 2 : On applique la formule

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2044)}{2} \times 350 \\ S_{350} & = 997 \times (350) \\ S_{350} & = 348 950 \end{aligned}

La réponse

348 950

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

Pas encore de posts.

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.